Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 10: Chứng minh rằng: a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép hợp tịnh tiến.

Câu 10:

Chứng minh rằng:

a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép hợp tịnh tiến.

b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.

Lời giải:

a) Lấy điểm M bất kì trong không gian

Giả sử phép đối xứng qua (P) biến M thành và phép đối xứng qua (Q) biến thành M’.

Gọi I, J là trung điểm của , M' (suy ra I ∈ (P), J ∈(Q), IJ ⊥ (P))

Ta có:

Chú ý :

IJ→ có phương vuông góc với (P) độ dài bằng khoảng cách giữa (P) và (Q)) hường từ (P) đến (Q)).

Nếu đặt 2IJ→= v→ thìv→ có phương, hướng và độ dài không đổi. Khi đó phép tịnh tiến theo X→ biến M thành M’. Vậy hợp thành 2 phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song là một phép tịnh tiến.

c) Gọi d = (P) ∩ (Q). M là một điểm bất kì. Giả sử phép đối xứng qua (P) biến M thành M’ và phép đối xứng qua (Q) biến M’ thành M’’.

I ∈ (P) và I ∈ (Q)

I ∈ d mà d ⊥ MM’’ (do d <=> (Q). Vậy d là đường trung trực của MM’’.

Trường hợp M ∈ (Q) nhưng M ∈ d tương tự.

Trường hợp 3. Nếu M ∈(P) và M ∈(Q) thì M, M’, M’’ phân biệt. Vì I = (P)∩ (Q) mà (P), (Q) lần lượt là mặt phẳng trung trực của MM’, M’M’’ nên d ⊥ (MM’M’’) => d ⊥ MM'' (*).

Mặt khác, gọi I là trung điểm của MM’’, do ΔMM’M’’ vuông tại M’ nên IM = IM’ = IM’’ => I đồng thời thuộc mặt phẳng trung trực của MM’ và M’M’’ hay I ∈(P) và I ∈(Q)=>I ∈d (**)

Từ (*), (**) ta có d là đường trung trực của đoạn MM’’ (3)

Kết luận:

Từ (1), (2), (3) ta thấy: nếu thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) thì mỗi điểm M ∈ d (với d ∈(P)∩ (Q) biến thành chính nó, mỗi điểm M ∈d biến thành M’’ sao cho d là trung trực của MM’’. Đó chính là phép đối xứng qua đường thẳng d.