Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia AA’, AB, AD (có chung gốc A) lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p.

Câu 10:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia AA’, AB, AD (có chung gốc A) lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p.

a) Tìm sự liện hệ giữa m, n, p sao cho mp(MNP) đi qua đỉnh C’ của hình lập phương.

b) Trong trường hợp mp(MNP) luôn đi qua C’, hãy tìm thể tích bé nhật của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A = O; Ox, Oy, Oz lần lượt chứa các tia AB, AD, AA’. Khi đó C’ ≡(1,1,1),M(0;0;m);N(n,0,0);P(0;p;0) với m, n, p dương.

a) Mặt phẳng (MNP) có phương trình viết theo đoạn chắn.

Để mp(MNP) đi qua điểm C’(1; 1; 1) thì:

b) Thể tích tứ diện AMNP là

Theo bất đẳng thức cô – si, ta có:

dấu “=” xảy ra khi m = n = p = 3.

Vậy thể tích bé nhất của tứ diện AMNP khi mp(MNP) đi qua C’ là 27/6 tương ứng với m = n = p = 3.