Sách Giải Bài Tập và SGK
Mục lục
Câu 1: Cho bốn điểm A(1, 6, 2), B(4, 0, 6); C(5, 0, 4), D(5, 1, 3). a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.
Câu 1:
Cho bốn điểm A(1, 6, 2), B(4, 0, 6); C(5, 0, 4), D(5, 1, 3).
a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mp(BCD)
d) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Lời giải:
a) Ta có: =(3,-6,4);
=(4,-6,2),
=(4,-5,1) nên [
;
] = (12; 10; 6) và [
.
].
=4 ≠ 0. Suy ra A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Thể tích tứ diện ABCD là:
c) Mặt phẳng (BCD) là mặt đi qua B(4, 0, 6) và nhận vectơ [;
] là vectơ pháp tuyến.
Ta có =(1,0,-2);
=(1,1,-3), suy ra [
;
]=(2,1,1) nên mp(BCD) có phương trình là:
2(x-4)+y+(z-6)=0 <=> 2x+y+z-14=0
d) Mặt cầu tâm A(1, 6, 2) tiếp xúc với mp(BCD) có bán kính là
Nên mặt cầu có phương trình là: +
+
=8/3
Tiếp điểm H của mặt cầu với mp(BCD) chính là hình chiếu vuông góc của tâm A(1, 6, 2) lên mp(BCD)
Để tìm tọa độ điểm H trước hết ta viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và Δ ⊥ (BCD))
Δ đi qua A(1, 6, 2) và nhận vectơ pháp tuyến của mp(BCD) là =(2,1,1)là vectơ chỉ phương, nên Δ có phương trình
Khi đó H là giao điểm của Δ và mp(BCD), nên tọa độ của H là nghiệm của hệ