Câu 90:

Giả sử đồ thị (G) của hàm số \(y=\frac{(\sqrt{2})^{x}}{\ln 2}\) cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).

Lời giải:

Cho \(x=0 \Rightarrow y=\frac{1}{\ln 2}\)

Tọa độ điểm \(A\left(0 ; \frac{1}{\ln 2}\right)\).

Vậy \(O A=\frac{1}{\ln 2}\)

Ta có \(y^{\prime}=\frac{(\sqrt{2})^{x} \cdot \ln \sqrt{2}}{\ln 2}=\frac{1}{2}(\sqrt{2})^{x}\)

\(\Rightarrow y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}\)

Phương trình tiếp tuyến tại \(\mathrm{A}\) là: \(y-\frac{1}{\ln 2}=\frac{1}{2}(x-0)\)

\(\Rightarrow y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{\ln 2}\)

Giao điểm \(B\) của tiếp tuyến với trục hoành:

Cho \(y=0\) ta được:

\(\frac{1}{2} x+\frac{1}{\ln 2}=0 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{\ln 2}\)

\(\begin{aligned} &\Rightarrow B\left(-\frac{2}{\ln 2} ; 0\right) \text { suy ra } O B=\frac{2}{\ln 2} \\ &\text { Vậy } S_{O A B}=\frac{1}{2} O A . O B=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2}{\ln 2}=\frac{1}{\ln ^{2} 2} \approx 2,081 \end{aligned}\)

Cách 2.

Cho \(x=0 \Rightarrow y=\frac{1}{\ln 2}\)

Tọa độ điểm \(A\left(0 ; \frac{1}{\ln 2}\right)\).

Vậy \(O A=\frac{1}{\ln 2}\)

Ta có \(y^{\prime}=\frac{(\sqrt{2})^{x} \cdot \ln \sqrt{2}}{\ln 2}=\frac{1}{2}(\sqrt{2})^{x}\)

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (G) tại A là:

\(y^{\prime}(0)=\tan \widehat{O B A}=\frac{1}{2}\)

Trong tam giác \(O A B\), ta có:

\(\frac{O A}{O B}=\tan \widehat{O B A}=\frac{1}{2} \Rightarrow O B=2 O A=\frac{2}{\ln 2}\)

Do đó diện tích tam giác \(O A B\) là

\(S_{O A B}=\frac{1}{2} O A . O B=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2}{\ln 2}=\frac{1}{\ln ^{2} 2} \approx 2,081\)