Câu 8:

Chứng minh rằng:

a) Nếu vectơ u→ của một mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ u→ là |u→ |=|z|, từ đó nếu các điểm ; theo thức tự biểu diễn các số phức ; thì → |=- |

b) Với mọi số phức z, z’ ta có |zz' |=|z||z' | và khi z ≠ 0 thì

c) Với mọi số phức z, z’ ta có |z+z' |≤|z|+|z' |

Lời giải:

a) Nếu u→ là vectơ biểu diễn số phức z = a + bi thì u→=(a;b)

Gọi là điểm biểu diễn số phức =+ i=> (;)

là điểm biểu diễn số phức =+ i=> (;)

b) Ta có: z.z’=(a+bi)(a'+b' i)=(aa'-bb' )+(ab'+a' b)i

Vậy |zz' |=|z||z' |

* Khi z≠0 nên |z| > 0 theo trên ta có: |zz^' |=|z||z^' |

Đặt (trong đó a, b là hai số thực và b ≠ 0)

Khi đó ( *) trở thành: ( đpcm)

c) Với mọi số phức z, z’, ta có: z + z’ = (a +a’) + (b +b’)i

Theo yêu cầu bài toán ta cần chứng minh:

Theo Bu-nhi-cốp-xki ta có bất đẳng thức (*) đúng với ∀a,b,a',b'∈R nên |z+z'| ≤ |z|+|z'| (đpcm)