Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 8: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) sin x<x với mọi x>0

Câu 8:

Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) sin x < x với mọi x>0; sin x > x với mọi x<0;

Lời giải:

a)

* Xét hàm số f(x) = x - sin⁡x hàm số này liên tục trên R.

+ Xét hàm số trên nửa khoảng

Đạo hàm f’(x) = 1 - cos⁡x > 0

Do đó hàm số đồng biến trên

Từ (1) và (2) suy ra, x > sin x với x > 0.

** Xét hàm số y= x - sin x liên tục trên R.

+ Hàm số f(x) = x – sin x trên

có đạo hàm f’(x) = 1 - cos x > 0

Do đó hàm số đồng biến trên

⇒ f(x) < f(0) hay x- sin x

+ Hiển nhiên: x < sin x với mọi

Từ(3) và (4) suy ra; x < sin x với mọi x < 0

b) Hàm số xác định trên R và có đạo hàm g’(x) = x – sin x

Dựa vào ý a) và chú ý x- sin x = 0 ⇔ x = 0, ta có bảng biến thiên của hàm g(x)

Tập xác định D = R và có đạo hàm

Suy ra, h(x) đồng biến trên R.