Câu 77:

Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b) Chứng minh rằng với mọi m ≠ 1/2, các đường cong () đều đi qua hai điểm cố định A, B.

c) Chứng minh rằng tích các hệ số góc của tiếp tuyến với () tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.

Lời giải:

Nên hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (1; +∞)

Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.

=> đường thẳng y=1/2 là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Cặt trục tung tại (0; 2)

Cặt trục hoành tại (4; 0)

Đk: mx ≠ 1

b) Gọi A(x, y) là điểm cố định của đồ thị hàm số khi m thay đổi.

Khi đó tọa độ của A thỏa mãn Phương trình sau ∀m:

Vậy ∀m ≠ ±1/2 đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định A(-2; 1), B(2; -1)

Hệ số của tiếp tuyến với () tại điểm A là y’(2), tại điểm B là y’(2)

Ta có :

Hệ số của tiếp tuyến với () tại điểm A là y’( -2), tại điểm B là y’(2)

Ta có:

Vậy tích các hệ số góc của các tiếp tuyến với () tại 2 điểm A và B là 1 hằng số khi m biến thiên.