Câu 73:

Cho hàm số f(x) = +px+q.

a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu.

b) Chứng minh rằng nếu có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì pương trình +px+q =0 (1) có 3 nghiệm phân biệt.

c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là +<0

Lời giải:

a) f'(x)=+p

Để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu thì phương trình f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và f’(x) đối dấu qua các điểm đó. Vật p < 0

⇔ ∆’ = - 3p > 0 hay p < 0 .

Vậy p < 0.

b)

Cách 1:

Dạng đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên phương trình +px+q= 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Cách 2:

Hàm số f(x) = +px+q liên tục trên R và có

=f( ),=f( )

nên tồn tại số a sao cho f(a) < 0, a<<

Vì f(a). < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a,)

Và f( ).f( ) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (,)

nên tồn tại một số b > sao cho f(b) > 0

Vì f( ),f(b)<0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (,b)

Do Phương trình bậc ba có nhiều nhất là 3 nghiệm. Vậy phương trình +px+q=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Chú ý:

Khẳng định trên đúng với phương trình bậc ba tổng quát.

Gọi , là hai điểm cực trị của hàm số.

Theo câu b, ta có điều kiện cần và đủ để Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu nhau, nghĩa là .<0 <=> f( ).f( )<0