Câu 68:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Lời giải:

a) Xét hàm số f(x) = tan x – x

Do đó hàm số f(x) đồng biến trên (0; π/2)

Nên f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0;π/2)

Vì f(0) = 0, nên khi x > 0 và x ∈ (0;π/2) thì f(x) > f(0), tức là tan x – x > 0 hay tan x > x.

b) Xét hàm số

= ⁡x-⁡=(tan⁡x-x)(tan⁡x+x)>0 với mọi x ∈(0;π/2) và do câu a.

(Vì trên (0;π/2) thì tanx > 0 và x > 0 nên tanx + x > 0 .

Lại theo câu a, trên khoảng (0;π/2) thì tanx – x > 0

Do đó, (tanx + x). (tanx – x) > 0 ).

Suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0;π/2)

Vì f(0) = 0 nên khi x > 0 thì f(x) > f(0), tức là tan⁡x-x-x^3/3>0 hay tan⁡x > x+/3 với x ∈(0;π/2)