Câu 65:

a) Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Với giá trị nào của m đường thẳng y=m-x cắt đồ thị của hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt?

c) Gọi A và B là 2 giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB nói trên m thay đổi.

Lời giải:

a) TXĐ: D = R\{1}

Sự biến thiên:

Đạo hàm:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1) và (1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x=0 và = -1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x= 2 và = 7

Giới hạn: ⁡ y = +∞; ⁡y=- ∞

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên là đường thẳng: y=2x+1

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=m-x và đồ thị hàm số nghiệm của Phương trình:

<=> (m-x)(x-1)=-x+1,x ≠ 1

<=> f(x)=-x(2+m)+m+1=0,f(1) ≠ 0

Để đường thẳng (C ) tại 2 điểm phân biệt thì: Δ>0 và f(1) ≠ 0

Ta có: Δ=-4.3(m+1)>0

⇔ -8m-8>0

Lại có: f(1) = 2 ≠ 0 với mọi m. (2)

Từ (1) và (2) suy ra, với thì đường thẳng y = m- x sẽ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.

c) Gọi A(; ),B(,) là hai giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C)

gọi M(; ) là trung điểm của AB

Mà điểm M thuộc đường thẳng y= m- x ( vì đường thẳng AB chính là y = m - x)

⇒ = m – = – 2 – = – 2

Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn AB khi m biến thiên là: y=5x-2