Câu 63:

Giải các phương trình sau:

a) \((2+\sqrt{3})^{2 x}=2-\sqrt{3}\)

b) \(2^{x^{2}-3 x+2}=4\)

c) \(2.3^{x+1}-6.3^{x-1}-3^{x}=9\)

d) \(\log _{3}\left(3^{x}+8\right)=2+x\)

Lời giải:

a) \(\begin{aligned} &(2+\sqrt{3})^{2 x}=2-\sqrt{3} \\ &\Leftrightarrow(2-\sqrt{3})^{-2 x}=(2-\sqrt{3}) \\ &\Leftrightarrow-2 x=1 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} \end{aligned}\)

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S=\left\{-\frac{1}{2}\right\}\)

b) \(2^{x^{2}-3 x+2}=4 \Leftrightarrow 2^{x^{2}-3 x+2}=2^{2}\)

\(\Leftrightarrow x^{2}-3 x+2=2 \Leftrightarrow x^{2}-3 x=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=3\end{array}\right.\)

Vậy \(S=\{0 ; 3\}\)

c) $\begin{aligned}n&2.3^{x+1}-6.3^{x-1}-3^{x}=9 \\n&\Leftrightarrow 2.3^{x} \cdot 3-6.3^{x} \cdot \frac{1}{3}-3^{x}=9 \\n&\Leftrightarrow 6.3^{x}-2.3^{x}-3^{x}=9 \\n&\Leftrightarrow 3.3^{x}=9 \Leftrightarrow 3^{x}=3 \Leftrightarrow x=1 \\n&\text { Vậy } S=\{1\}

\end{aligned}$

d) \(\begin{aligned}n&\log _{3}\left(3^{x}+8\right)=2+x \\n&\Leftrightarrow 3^{x}+8=3^{2+x} \Leftrightarrow 3^{x}+8=9.3^{x} \\n&\Leftrightarrow 8.3^{x}=8 \Leftrightarrow 3^{x}=1 \Leftrightarrow x=0n\end{aligned}\)

Vậy \(S=\{0\}\)