Câu 63:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

b) Chứng minh rằng đường thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua 1 điểm cố đinh của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại 2 điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Lời giải:

Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

⇒ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1/2

Lại có

⇒ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1/2

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Giao với Ox: (-2; 0)

Giao với Oy: (0; 2)

b) Gọi điểm cố định mà đường thẳng y = mx+m-1 luôn đi qua là I.

Cách 1:

thay vào phương trình y=mx+m-1

Để phương trình (*) luôn đúng với mọi m khi và chỉ khi :

Vậy đường thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua 1 điểm cố định I =(-1; -1) của đường cong (H) khi m biến thiên.

Cách 2:

* Ta tìm điểm cố định của đường thẳng y= mx + m- 1.

Ta lại thấy điểm I thuộc đồ thị (H). Do đó,đường thẳng y= mx + m- 1 luôn đi qua 1 điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm của phương trình:

Để đường thẳng y= mx + m-1 cắt đường cong (H) tại 2 điểm thuộc cùng một nhánh của (H) khi và chỉ khi:

⇒ Phương trình vô nghiệm

Vậy với m < -3 hoặc -3 < m < 0 thì đường thẳng sẽ cắt (H) tại 2 điểm thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị (H).