Câu 58:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Với các giá trị nào của m thì đường thẳng () đi qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho.

- Tại 2 điểm phận biệt?

- Tại 2 điểm thuộc 2 nhánh 2 của đồ thị?

Lời giải:

- Hàm số luôn đồng đồng biến trong khoảng (-∞; -1)và (-1;+∞)

- Hàm số không có cực trị.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng: x = -1.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng: y = 2.

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số nhận điểm I(-1; 2) là giao điểm của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng. Đồ thị đi qua A(0; -1), B(1/2;0),C(1;1/2);D(2;1)

b) Đường thẳng () qua điểm A(-2; 2) có hệ số góc m là:

y=m(x+2)+2

⇔ y=mx+2m+2

Để () cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt ≠ -1

⇔ f(x) = + 3mx + 2m + 3 = 0 và f(-1) ≠ 0 (1)

Vậy với m ∈(-∞;0) và (12,+∞) thì đường thẳng () sẽ cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.

- Để () cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị thì:

<-1< hay af(-1)<0

⇔ m(m+3m(-1)+2m+3)<0 ⇔ 3m<0 ⇔ m < 0

Vậy với m ∈(-∞;0) thì đường thẳng () sẽ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt ∈ 2 nhánh đồ thị.