Câu 40:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=+-4

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.

Lời giải:

a) TXĐ: R

y'>0 trên khoảng (-∞; -2)và (0; +∞)

y'<0 trên khoảng (-2; 0)

+ = y(-2) = 0; = y(0) = -4

+ ⁡y = -∞; y = +∞

+ y'' = 6x+6 = 6(x+1) = 0 ⇔ x = -1

Bảng xét dấu y’’

X-∞ -1 +∞Y’’ -0+ Đồ thị Lồiđiểm uốn U(-1; -2)lõm Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1)Hàm số lõm trên khoảng (-1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn U(-1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)

b) Hàm số y = +-4 có điểm uốn U(-1; -2)

Ta có: y' = + 6x; y’(-1) = -3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(-1; -2) có dạng

y-=y'()(x-)

⇔ y+2=-3(x+1)

⇔ y=-3x-5

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x - 5.

c) Cách 1. Đồ thị nhận U(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:

f(+x)+f(-x)= với ∀x

⇔ f(x-1)+f(-x-1)=-4 ∀x

⇔ +3-4++3-4 =-4 ∀x

⇔ -+3x-1+-6x+3-4-1-3x--+3+6x+-4=-4 ∀x

⇔ -4 = - 4 ∀ x

⇒ I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Cách 2. Gọi U(-1; -2) là tọa độ điểm uốn, tịnh tiến OU giữa các tọa độ cũ.

Theo công thức đổi trục tọa độ

Phương trình trở thành Y = -3X đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng (đpcm).