Câu 30:

Cho hàm số y=f(x)=-+1

a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của Phương trình f’’(x)= 0.

b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến vectơ OI và viết Phương trình của đường cong với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra bằng I là tâm đối xứng đường cong (C).

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm I đối với hện tọa độ Oxy. Chứng minh rằng trên khoảng (-∞;1) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của (C) và trên khoảng (1; +∞) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Lời giải:

a) f' (x)=-6x

f'' (x)=6x-6;f'' (x)=0 < ⇒ x=1 ⇒ f (1) = -1

Vậy I(1; -1)

b) Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI:

Phương trình của (C) đối với hệ trục IXY là:

y - 1 = -3+1 hay Y=-3X

Vì hàm số Y=-3X là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

c) Tiếp tuyến với (C) tại I(1; -1) đối với hệ tọa độ Oxy là:

y = f' (1)(x-1)+f(1) với f’(1) = -3; f(1) = -1

Nên Phương trình tiếp tuyến: y= -3(x-1)+(-1) hay y = -3x + 2

Xét hiệu (-+1)-(-3x+2)=

Với x ∈(-∞;1) ⇒ <0 ⇔ – + 1 < -3x +2 nên đường cong (C): y=-+1 nằm phía dưới tiếp tuyến y = -3x + 2

Với x ∈(1; +∞) ⇒ >0 ⇔ – + 1 > -3x + 2 nên đường cong (C): nằm phía trên tiếp tuyến tại I.