Câu 18:

Chứng minh rằng nếu z là căn bậc hai của số phức w thì |z| = \(\sqrt{|\mathrm{w}|}\)

Lời giải:

Giả sử w=a+bi có một căn bậc hai là z=x+yi

\(z\) là một căn bậc hai của số phức w thì \(z^{2}=\mathrm{w}\)

\(\Leftrightarrow(x+y i)^{2}=a+b i \Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2 x y i=a+b i\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y^{2}=a \\ 2 x y=b\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}=a^{2} \\ 4 x^{2} y^{2}=b^{2}\end{array}\right.\right.\)

\(\Rightarrow a^{2}+b^{2}=x^{4}+y^{4}+2 x^{2} y^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}=x^{2}+y^{2}\)

\(\Rightarrow|z|^{2}=|\mathrm{w}| \Rightarrow|z|=\sqrt{|z|^{2}}=\sqrt{|\mathrm{w}|}\)