Câu 17:

Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: -i; 4i; -4; \(1+4 \sqrt{3} i\)

Lời giải:

* Giả sử \(z=x+y i\) là căn bậc hai của \(-i\), ta có:

\((x+y i)^{2}=-i \Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2 x y i=-i\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y^{2}=0 \\ 2 x y=-1\end{array}\right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(y=-\frac{1}{2 x}\) thế vào (1) ta được:

\(x^{2}-\frac{1}{4 x^{2}}=0 \Leftrightarrow x^{4}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)

+) Với \(x=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ta có \(y=-\frac{1}{2 x}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

+) Với \(x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) ta có \(y=-\frac{1}{2 x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Hệ có hai nghiệm là: \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)

Vậy \(-i\) có hai căn bậc hai là: \(z_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} i, z_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} i\)

* Giả sử \(z=x+y i\) là căn bậc hai của \(4 i\), ta có:

\((x+y i)^{2}=4 i \Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2 x y i=4 i\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y^{2}=0 \\ x y=2\end{array}\right.\)

Thay \(y=\frac{2}{x}\) vào phương trình thứ nhất ta được: \(x^{2}-\frac{4}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow x^{4}=4 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}\)

+) Với \(x=\sqrt{2}\) ta có \(y=\frac{2}{x}=\sqrt{2}\);

+) Với \(x=-\sqrt{2}\) ta có \(y=-\sqrt{2}\)

Hệ có hai nghiệm \((\sqrt{2} ; \sqrt{2}),(-\sqrt{2} ;-\sqrt{2})\)

Vậy \(4 i\) có hai căn bậc hai là: \(z_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{2} i ; \quad z_{2}=-\sqrt{2}-\sqrt{2} i\) * Ta có \(-4=4 i^{2}=(2 i)^{2}\) do đó \(-4\) có hai căn bậc hai là \(\pm 2 i\)

* Giả sử \(z=x+y i\) là căn bậc hai của \(1+4 \sqrt{3} i\).

\((x+y i)^{2}=1+4 \sqrt{3} i\)

* Ta có \(-4=4 i^{2}=(2 i)^{2}\) do đó \(-4\) có hai căn bậc hai là \(\pm 2 i\)

* Giả sử' \(z=x+y i\) là căn bậc hai của \(1+4 \sqrt{3} i\).

\((x+y i)^{2}=1+4 \sqrt{3} i\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y^{2}=1 \\ 2 x y=4 \sqrt{3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2 \sqrt{3}}{x} \\ x^{2}-\frac{12}{x^{2}}=1\end{array}\right.\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2 \sqrt{3}}{x} \\ x^{4}-x^{2}-12=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2 \sqrt{3}}{x} \\ {\left[\begin{array}{l}x^{2}=4 \\ x^{2}=-3(\text { loai })\end{array}\right.}\end{array}\right.\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2 \sqrt{3}}{x} \\ x^{2}=4\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=\sqrt{3}\end{array}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{array}{l}x=-2 \\ y=-\sqrt{3}\end{array}\right.\)

Hệ có hai nghiệm \((2 ; \sqrt{3}),(-2 ;-\sqrt{3})\)

Vậy \(1+4 \sqrt{3} i\) có hai căn bậc hai là: \(z_{1}=2+\sqrt{3} i, z_{2}=-2-\sqrt{3} i\)