Phương pháp & Ví dụ

Cùng một dao động: x = Acos(ωt + φ)

v =

cos(ωt + φ + π/2 ),

= Aω.

a = cos(ωt + φ + π ), = Aω.

F = cos(ωt + φ + π), = m. = mω.

Biểu diễn các đại lượng dao động điều hòa trên cùng một đường tròn có 2 cách là đa điểm hoặc đa trục. Tùy vào từng bài toán mà ta áp dụng đường tròn nào cho phù hợp.

Ví dụ 1:

Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(πt + π/3), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị -2π cm/s lần thứ 7 là

A. 6,5 s.        B. 4,5 s.

C. 2,5 s.        D. 6,75 s.

Hướng dẫn:

Xác định “thời điểm” ⇒ dùng đường tròn đa điểm với 1 trục x,v : A = 4cm,

= 4π cm/s.

Thời điểm ban đầu của ly độ là

.

Do vận tốc nhanh pha π/2 so với li độ Thời điểm ban đầu của vận tốc là

, đứng trước

góc π/2.

Vận tốc -2π cm/s tương ứng với

và

trên đường tròn.

N = 7 = 3.2 + 1 lần,

α = 3.2π + π/2 ⇒ t = 3T + T/4 = 6,5 s.

Ví dụ 2:

Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 2 cm và tần số bằng 2 Hz. Lấy gần đúng π

= 10. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 1,6 m/

là

A. 1/6 s.        B. 1/12 s.

C. 1/24 s.        D. 1/18 s.

Hướng dẫn:

Xác định “ khoảng thời gian” ⇒ dùng đường tròn đa trục.

f = 2 Hz ω = 4π rad/s, A = 2 cm,

= 8π cm/s,

= 32 m/

.

v = 4π cm/s tại M, a = 1,6 m/

tại N.

Từ M đến N có thể đi theo các cung

,

,

,

.

Cung

thì Δφ

= π/6

Δ

= 1/24 s.

Ví dụ 3:

Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 2 cm và tần số bằng 0,5 Hz. Lấy gần đúng π

= 10. Trong một chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn √2.π cm/s và gia tốc lớn hơn 10 cm/

bằng

A. 7/24 s.        B. 5/12 s.

C. 7/12 s.        D. 5/24 s.

Hướng dẫn:

f = 0,5 Hz ⇒ ω = π rad/s, A = 2 cm,

= 2π cm/s,

= 20 cm/

.

v = π√2 cm/s tại M

⇒ v < π√2 cm/s ứng với cung lớn

(không tô đậm).

a = 10 cm/

tại N, a > 10 cm/

ứng với cung nhỏ

(không tô đậm).

Cung

không tô đậm thỏa mãn cả 2 điều kiện của v và a :

Δφ = 7π/12 ⇒ Δt = 7/12 s.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1.

Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình x = 6cos(2πt) cm, với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Tính từ thời điểm ban đầu, t = 0, véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của vật sẽ có chiều cùng chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian gần nhất là

A. 0,30 s < t < 0,50 s

B. 0,15 s < t < 0,25 s

C. 0,50 s < t < 0,75 s

D. 0,20 s < t < 0,40 s

Lời giải

Véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của vật sẽ có chiều cùng chiều dương của trục Ox khi vật chuyển động từ

đến

Gọi

là thời gian để vật đi từ

đến

⇒

= T/2 = 0,5 s

Gọi

là thời gian để vật đi từ

đến

⇒

= 3T/4 = 0,75 s

Vậy từ thời điểm ban đầu, t = 0, véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của vật sẽ có chiều cùng chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian gần nhất là từ 0,5 s đến 0,75 s.

Câu 2.

Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 4 cm và tần số bằng 2 Hz. Khoảng thời ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 8π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 32π2√2 cm/

là:

A. 1/12 s     B. 1/48 s

C. 11/24 s     D. 11/48 s

Lời giải

Ta có: ω = 4π rad/s

= 4π.4 = 16π cm/s

=

.4 = 64 π

cm/

T biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 8π cm/s tại các điểm

và

các điểm có gia tốc 32π√2 cm/ tại các điểm , trên đường tròn đa trục như hình vẽ

Khoảng thời ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 8π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 32π√2 cm/ sẽ ứng với vật đi từ đến trên đường tròn

⇒ Δφ = π/4 - π/6 = π/12 ⇒ Δt = T/24 = 1/48 (s)

Câu 3.

Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 2 cm và tần số bằng 2 Hz. Lấy gần đúng π = 10. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng -3,2 m/ là:

A. 1/6 s     B. 1/12 s

C. 1/24 s     D. 1/3 s

Lời giải

Ta có: ω = 4π rad/s

= 4π.2 = 8π cm/s

= .2 = 3,2 cm/

T biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 4π cm/s tại các điểm và trên đường tròn đa trục như hình vẽ.

Vật có gia tốc bằng -3,2 m/ tại vị trí biên dương của li độ.

Để thời gian ngắn nhất thì vật đi từ vị trí điểm tới biên dương của li độ

⇒ Δφ = π/6 ⇒ Δt = T/12 = 1/24 (s)

Câu 4.

Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 2 cm và tần số bằng 0,5 Hz. Lấy gần đúng π = 10. Trong một chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn π cm/s và gia tốc lớn hơn 10√3 cm/ bằng:

A. 1/2 s     B. 1/6 s

C. 1/3 s     D. 2/3 s

Lời giải

Ta có f = 0,5 Hz ⇒ ω = π rad/s

⇒ = 2π cm/s ⇒ = π.2 = 20 cm/

Ta biểu diễn vị trí có vận tốc π cm/s tại các điểm , và vị trí có gia tốc 10√3 cm/ tại các điểm , trên đường tròn lượng giác như hình

Từ đường tròn ⇒ Trong một chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn π cm/s và gia tốc lớn hơn 10√3 cm/ khi vật đi từ đến trên đường tròn.

⇒ Δφ = π/3 ⇒ Δt = T/6 = 1/3 (s)

Câu 5.

Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 4 cm và tần số bằng 1 Hz. Lấy gần đúng π = 10. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 80 cm/ là:

A. 1/6 s     B. 1/12 s

C. 1/3 s     D. 1/9 s

Lời giải

Ta có: ω = 2π rad/s

= 2π.4 = 8π cm/s

= .4 = 160 cm/

Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 4π cm/s tại cái điểm , và các điểm có giá tốc 80 cm/ tại các điểm , trên đường tròn đa trục như hình vẽ

Khoảng thời ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 80 cm/ sẽ ứng với vật đi từ đến trên đường tròn.

⇒ Δφ = π/3 - π/6 = π/6 ⇒ Δt = T/12 = 1/12 (s)

Câu 6.

Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3cos(2πt + π/6), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Tính từ thời điểm ban đầu, t = 0, trong khoảng thời gian 3,5 s đầu tiên, chất điểm đạt được vận tốc bằng 3π√2 cm/s bao nhiêu lần ?

A. 5     B. 7

C. 4     D. 6

Lời giải

Ta biểu diễn vị trí ban đầu của li độ tại điểm trên đường tròn như hình vẽ

Do vận tốc sớm pha π/2 so với li độ nên pha ban đầu của vận tốc là tại điểm

Ta biểu diễn vị trí chất điểm có vận tốc bằng 3π√2 cm/s tại các điểm , trên đường tròn

Ta có T = 1 s ⇒ t = 3,5 s = 3T + T/2

Mỗi chu kì có 2 lần chất điểm có vận tốc bằng 3π√2 cm/s

sau 3 chu kì, chất diểm có 6 lần đạt vận tốc bằng 3π√2 cm/s

Sau 3T, chất điểm quay được 3 vòng trên đường tròn là trở về đúng vị trí ban đầu.

Trong 0,5t tiếp theo, chất điểm quay đến vị trí M' trên đường tròn lượng giác ⇒ không đi qua vị trí có vận tốc bằng 3π√2 cm/s lần nào nữa.

Vậy từ thời điểm ban đầu, t = 0, trong khoảng thời gian 3,5 s đầu tiên, chất điểm đạt được vận tốc bằng 3π√2 cm/s 6 lần

Câu 7.

Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 6 cm và tần số bằng 2 Hz. Trong khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn 12π√3 cm/s và gia tốc lớn hơn 48π cm/, tốc độ trung bình của vật nhỏ bằng:

A. 36 cm/s     B. 18 cm/s

C. 24 cm/s     D. 32 cm/s

Lời giải

Ta có: ω = 4π rad/s

= 4π.6 = 24π cm/s

= .6 = 96π cm/

Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 12π√3 cm/s tại các điểm , và các điểm có gia tốc 48π cm/ tại các điểm , trên đường tròn đa trục như hình vẽ

Vật có vận tốc nhỏ hơn 12π√3 cm/s và gia tốc lớn hơn 48π cm/ khi vật đi từ đến trên đường tròn

⇒ Δφ = π/3 + π/3 = 2π/3 ⇒ Δt = T/3 = 1/6 (s)

Mặt khác, s = 3 + 3 = 6 cm

⇒ | = 6/(1/6) = 36 cm/s

Câu 8.

Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(πt + π/3), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị 2π cm/s lần thứ 5 là:

A. 29/6 s     B. 29/12 s

C. 9/6 s     D. 9/2 s

Lời giải

Ta có = 4π cm/s

Ta biểu diễn vị trí pha ban đầu của li độ của chất điểm tại điểm như hình vẽ

Do vận tốc sớm pha hơn li độ góc π/2 nên pha ban đầu của vận tốc ở vị trí trên đường tròn lượng giác như hình vẽ.

Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 2π cm/s tại các điểm , trên đường tròn

Từ đường tròn dễ thấy, 1 chu kì có 2 lần chất điểm có vận tốc 2π cm/s

Ta tách 5 = 2.2 + 1

⇒ t = 2T + Δt

Sau 2 chu kì, điểm quay được 2 vòng và trở về đúng vị trí ban đầu tại .

Để chất điểm đạt vận tốc 2π cm/s lần thứ 5 thì vật cần quay đến vị trí

⇒ Δφ = 5π/6 ⇒ Δt = 5T/12

⇒ t = 2T + 5T/12 = 29T/12 = 29/6 (s)

Câu 9.

Cho hai chất điểm dao động cùng tần số trên trục Ox với phương trình = 4cos(πt + π/6) cm và = 2cos(πt + π/2) cm. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm chất điểm thứ nhất có ly độ bằng 2 cm đến thời điểm chất điểm thứ 2 có ly độ bằng √3 cm là:

A. 4/9 s     B. 1/3 s

C. 1/6 s     D. 1/4 s

Lời giải

Chất điểm 2 sớm pha hơn so với chất điểm 1 một góc π/3 nên ta vẽ đường tròn đa trục như hình vẽ.

Chất điểm thứ nhất có li độ bằng 2 cm khi nó ở vị trí ,

Chất điểm thứ hai có li độ bằng √3 cm khi nó ở vị trí ,

Khoảng thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm chất điểm thứ nhất có ly độ bằng 2 cm đến thời điểm chất điểm thứ 2 có ly độ bằng √3 cm sẽ ứng với chất điểm đi từ đến trên đường tròn

⇒ ∠ = π/6 ⇒ t = T/12 = 1/6 (s)

Câu 10.

Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 6cos(πt + π/4), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị 3√3π cm/s lần thứ 3 là:

A. 24/7 s     B. 37/12 s

C. 29/7 s     D. 37/6 s

Lời giải

Ta có: = 6π cm/s

Ta biểu diễn vị trí pha ban đầu của li độ của chất điểm tại điểm như hình vẽ

Do vận tốc sớm pha hơn li độ góc π/2 nên pha ban đầu của vận tốc ở vị trí trên đường tròn lượng giác như hình vẽ.

Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 3√3 cm/s tại các điểm , trên đường tròn

Từ đường tròn dễ thấy, 1 chu kì có 2 lần chất điểm có vận tốc 3√3 cm/s

Ta tách 3 = 1.2 + 1

⇒ t = T + Δt

Sau 1 chu kì, điểm quay được 1 vòng và trở về đúng vị trí ban đầu tại .

Để chất điểm đạt vận tốc 3√3 cm/s lần thứ 3 thì vật cần quay đến vị trí

⇒ t = T + 13T/24 = 37T/24 = 37/12 (s)