1. Điều kiện cho điểm dao động cùng pha, ngược pha với nguồn.

+ Phương trình sóng tại 2 nguồn cùng biên độ A: (Điểm M cách hai nguồn lần lượt , )

= Acos(2πft + φ1) và = Acos(2πft + φ2)

+ Phương trình sóng tại M do hai sóng từ hai nguồn truyền tới:

= Acos(2πft - 2π/λ + φ1)

= Acos(2πft - 2π/λ + φ2)

Phương trình giao thoa sóng tại M: = +

Pha ban đầu sóng tại M:

Độ lệch pha giữa 2 điểm M và nguồn :

Để điểm M dao động cùng pha với nguồn 1: ∆φ = 2kπ.

Để điểm M dao động ngược pha với nguồn 1: ∆φ = (2k + 1)π.

Như vậy:

+ Tập hợp những điểm dao động cùng pha với 2 nguồn là họ đường elip nhận và làm 2 tiêu điểm.

+ Tập hợp những điểm dao động ngược pha với 2 nguồn là họ đường elip nhận và làm 2 tiêu điểm xen kẽ với họ đường elip trên.

2. Phương pháp nhanh cho trường hợp đặc biệt 2 nguồn đồng pha: φ1 = φ2 = φ.

* Điểm M dao động cùng pha với hai nguồn khi:

Để điểm M dao động ngược pha với hai nguồn.

a) Xác định số điểm cùng pha, ngược pha với nguồn S1S2 giữa 2 điểm P, Q trên đường trung trực.

* Điểm M nằm trên đường trung trực của có phương trình dao động là:

= 2Acos(2πft - 2πd/λ + φ)

(d là khoảng cách từ M đến 2 nguồn: = = d)

+ M đồng pha với hai nguồn khi

⇔ 2πd/λ = 2kπ ⇔ d = k.λ (k ∈N*)

+ M ngược pha với hai nguồn khi 2πd/λ = (2k+1)π

⇔ d = (k+0,5).λ (k ∈N*)

Ta có:

* Nếu P và Q nằm cùng phía với trung điểm O thì số điểm M đồng pha (ngược pha) với hai nguồn trên đoạn PQ được xác định như sau:

+ Cùng pha khi: ≤ k.λ ≤

+ Ngược pha khi: ≤ (k + 0,5).λ ≤

=> số giá trị k nguyên chính là số điểm cần tìm.

* Nếu P và Q nằm trái phía với trung điểm O thì số điểm M đồng pha (ngược pha) với hai nguồn trên đoạn PQ được xác định như sau:

+ Cùng pha khi: 0, ≤ .λ ≤ dQ và 0, < .λ ≤ dP

+ Ngược pha khi: 0, ≤ ( + 0,5).λ ≤ dQ và 0, < ( + 0,5).λ ≤ dP

(chỉ lấy dấu “=” một lần ở vế trái vì điểm O là chung cho cả hai phía)

> Tổng số giá trị , nguyên chính là số điểm cần tìm.

Ví dụ 1:

Trên mặt nước có 2 nguồn sóng giống hệt nhau A và B cách nhau một khoảng AB = 24 cm. Bước sóng λ = 2,5cm. Hai điểm P và Q trên mặt nước cùng cách đều trung điểm của đoạn AB một đoạn 16 cm và cùng cách đều 2 nguồn sóng và A và B. Số điểm trên đoạn PQ dao động cùng pha với 2 nguồn là:

A. 7.   B. 8.   C. 6.   D. 9.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

M thuộc đoạn PQ đồng pha với hai nguồn khi 2πd/λ = 2kπ ⇔ d = k.λ (k ∈ N*)

Hai điểm P và Q trên mặt nước cùng cách đều trung điểm của đoạn AB một đoạn 16 cm và cùng cách đều 2 nguồn sóng và A và B nên P và Q đối xứng nhau qua trung điểm O của AB.

Do đó:

Ta có:

Suy ra có 4 giá trị nguyên và 4 giá trị nguyên. Do đó có tất cả 8 điểm trên PQ dao động cùng pha với nguồn.

b) Xác định vị trí điểm trên đường trung trực gần nguồn nhất sao cho dao động cùng pha, ngược pha với hai nguồn.

Hai nguồn cùng pha và M thuộc trung trực của nên điều kiện M đồng pha, ngược pha với hai nguồn là:

* M đồng pha với hai nguồn khi

= = kλ (k ∈ N*)

Từ hình vẽ ta có: d = kλ ≥ O = /2 ⇔ k ≥ /2λ .

Do đó M dao động đồng pha với nguồn và gần nguồn nhất ứng với k nguyên và nhỏ nhất.

Khi đó: = .λ

* M ngược pha với hai nguồn khi = = (k+0,5)λ (k ∈ N*)

Từ hình vẽ ta có: d ≥ O = /2 ⇔ k ≥ /2λ - 0,5 .

Do đó M ngược pha với nguồn và gần nguồn nhất ứng với k nguyên và nhỏ nhất.

Khi đó: dmin = kmin.λ

Lưu ý: Ta làm tương tự cho bài toán tìm khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất của điểm M dao động cùng pha, ngược pha trên đoạn ON tới nguồn , .

Khi đó ứng với

Ví dụ 2:

Hai nguồn kết hợp , cách nhau một khoảng 50 mm trên mặt nước phát ra hai sóng kết hợp có phương trình = = 2cos200πt mm.Vận tốc truyền sóng trên mặt nước là 0,8 m/s. Điểm gần nhất dao động cùng pha với nguồn trên đường trung trực của cách nguồn bao nhiêu:

A. 32 mm   B. 16 mm

C. 24 mm   D. 8 mm.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Bước sóng: λ = v/f = 0,8/100 = 0,008m = 8mm.

Hai nguồn cùng pha và M thuộc trung trực của nên điều kiện M đồng pha với hai nguồn là: d = = k.λ (k ϵ N*)

Ta có: d ≥ O = /2 ⇔ k ≥ /2λ = 50/2,8 = 3,125 .

d nhỏ nhất ứng với k = 4

→ nhỏ nhất = 4.λ = 4.8 = 32mm.

c) Số điểm cực đại trên đoạn thẳng nối 2 nguồn và cùng pha hoặc ngược pha với hai nguồn S1, S2 cùng pha.

* Ta thấy phần sóng giao thoa giữa 2 nguồn tương tự như sóng dừng trên sợi dây. Trong đó bó sóng là tập hợp các điểm dao động giữa 2 nút sóng (điểm cực tiểu).

Do đó hai điểm có biên độ cực đại gần nhau nhất cách nhau λ/2 sẽ dao ngược pha, hai điểm cực đại gần nhau nhất cách nhau λ sẽ dao động đồng pha.

* Để tìm chính xác số điểm cực đại trên đoạn thẳng nối 2 nguồn và cùng pha hoặc ngược pha với hai nguồn , cùng pha ta thực hiện các bước sau:

+ Xác định pha của dao động tại trung điểm O của ¬ qua phương trình dao động của O:

Vì O + O = nên

Trường hợp 1: nếu như bài cho khoảng cách ta tính được π /λ = 2kπ thì O dao động đồng pha với 2 nguồn.

→ Các điểm cực đại đồng pha với nguồn sẽ cách O một đoạn k.λ (k ϵ N)

+ Khi đó: Số điểm cực đại đồng pha với nguồn cần tìm là: = 2.[/2λ] + 1

Số điểm cực đại ngược pha với nguồn cần tìm là: = 2.[/2λ]

Trường hợp 2: nếu như bài cho khoảng cách ta tính được π /λ = (2k+1)π thì O dao động ngược pha với 2 nguồn

→ Các điểm cực đại đồng pha với nguồn sẽ cách O một đoạn (k + 0,5).λ (k ϵ N)

+ Khi đó: Số điểm cực đại đồng pha với nguồn cần tìm là: = 2.[/2λ]

Số điểm cực đại ngược pha với nguồn cần tìm là: = 2.[/2λ] + 1

Ví dụ 3:

Hai nguồn sóng kết hợp trên mặt nước cách nhau một đoạn = 9λ phát ra dao động cùng pha nhau. Trên đoạn , số điểm có biên độ cực đại cùng pha với nhau và cùng pha với nguồn (không kể hai nguồn) là:

A. 12   B. 6   C. 8   D. 10

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Phương trình dao động của O trung điểm của :

↔ uO = 2Acos(ωt + φ – π)

Suy ra O dao động ngược pha với hai nguồn.

Do vậy số điểm cực đại đồng pha với nguồn trên đoạn cần tìm là:

= 2.[/2λ] = 2[9λ/2λ] = 8 điểm

3. Số điểm cực đại trên đoạn thẳng nối 2 nguồn và cùng pha hoặc ngược pha với một trong hai nguồn S1, S2 có pha khác nhau.

Phương trình giao thoa sóng tại M: = +

M thuộc nên + = .

Suy ra:

* Để điểm M trên dao động cực đại cùng pha với nguồn 1:

Vì bài cho biết , φ1, φ2 và λ nên ta kiểm tra các điều kiện (2) và (4) trước xem có xảy ra không.

Nếu xảy ra ta tiếp tục tìm hoặc (sử dụng + = ).

Vì điểm M di động trên nên số điểm M thỏa mãn được xác định qua bất phương trình sau: 0 < < .

* Trường hợp điểm M ngược pha với nguồn 1 ta làm tương tự như trên.

Ví dụ 4:

Trên mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp , dao động với phương trình tượng ứng = acosωt và = asinωt. Khoảng cách giữa hai nguồn là = 2,75λ. Trên đoạn , số điểm dao động với biên độ cực đại và cùng pha với (không tính nguồn ) là:

A. 2 điểm  B. 4 điểm.

C. 5 điểm.  D. 6 điểm.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: = acosωt và = asinωt = acos(ωt – π/2).

Phương trình giao thoa sóng tại M: = +

Như vậy để M dao động cực đại, cùng pha với thì

Vì + = = 2,75λ nên = (k + 2)λ.

Ta có: 0 < = (k + 2)λ < 2,75λ ↔ -2 < k < 0,75

→ có 2 giá trị của k ϵ Z ứng với 2 điểm.

Câu 1:

Trên mặt chất lỏng có hai nguồn sóng kết hợp phát ra hai dao động = acosωt; = asinωt. khoảng cách giữa hai nguồn là = 3,25λ. Hỏi trên đoạn có mấy điểm cực đại dao động cùng pha với (không tính nguồn )

A. 3 điểm.   B. 4 điểm.

C. 5 điểm.   D. 6 điểm

Lời giải

Chọn A

Ta có: = acosωt và = asinωt = acos(ωt – π/2).

Phương trình giao thoa sóng tại M: = +

Ta thấy nếu

Nên để M dao động cực đại, cùng pha với thì

Vì + = = 3,25λ nên = (k + 2,25)λ.

Ta có: 0 < = (k + 2,25)λ < 3,25λ ↔ -2,25 < k < 1 → có 3 giá trị của k ϵ Z ứng với 3 điểm.

Câu 2:

Hai nguồn sóng kết hợp trên mặt nước , dao động với phương trình: = asin(ωt), = acos(ωt) và = 9λ. Điểm M gần nhất trên trung trực của dao động cùng pha với cách , bao nhiêu?

A. 45λ/8   B. 39λ/8

C. 43λ/8   D. 41λ/8

Lời giải

Chọn D

Ta có: = asinωt = acos(ωt – π/2) và = acosωt.

Phương trình giao thoa sóng tại M: = +

M thuộc trung trực của nên = = d.

Điều kiện M đồng pha với hai nguồn là:

Ta có:

Suy ra d nhỏ nhất ứng với k = 5 ⇔ = (5+1/8)λ = 41/8λ

Câu 3:

Hai mũi nhọn , cách nhau 8 cm gắn vào đầu một cần rung có tần số f = 100 Hz, đặt chạm nhẹ vào mặt một chất lỏng. Tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng v = 0,8 m/s. Hai nguồn , dao động theo phương thẳng đứng với cùng phương trình = = acosωt cm. Một điểm M trên mặt chất lỏng cách đều , một khoảng d = 8 cm. Trên đường trung trực của , điểm gần M nhất và dao động cùng pha với M cách M bao nhiêu?

A. 0,91cm   B. 0,94 cm.

C. 8,8cm.   D. 0,52cm.

Lời giải

Chọn A

Bước sóng λ = v/f = 0,8/100 = 0,008m = 0,8cm.

Ta có phương trình giao thoa sóng trên đường trung trực của là:

Suy ra độ lệch pha của P, Q so với M là:

P và Q đồng pha với M khi: ∆φM/P = 2kπ; ∆φM/Q = 2nπ (k, n ϵ Z).

→ = + kλ; = + nλ.

Ta có:

P, Q gần M nhất khi k = 1 và n = -1. Suy ra

Vậy điểm gần M nhất và dao động cùng pha với M là điểm P với = 0,91cm.

Câu 4:

Hai nguồn sóng A, B cách nhau 12,5 cm trên mặt nước tạo ra giao thoa sóng, dao động tại nguồn có phương trình = = acos100πt cm tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 0,5 m/s. Số điểm trên đoạn AB dao động với biên độ cực đại và dao động ngược pha với trung điểm I của đoạn AB là

A. 12.   B. 25.

C. 13.   D. 24.

Lời giải

Chọn A

Bước sóng λ = v/f = 1cm

Phương trình dao động của I trung điểm của AB

↔ = 2acos(100πt – 0,5π )

Tương tự phương trình dao động của điểm M thuộc AB là:

Suy ra M dao động cực đại ngược pha với điểm I thì

↔ – = (2k + 1).λ = 2k + 1

Ta có: -AB < <– = 2k + 1 < AB

↔ -12,5 < 2k + 1 < 12,5 ↔ -6,75 < k < 5,75

Do đó có 12 giá trị k ϵ Z tương ứng với 12 điểm dao động cực đại ngược pha với I.

Câu 5:

Hai nguồn kết hợp , cách nhau một khoảng 50 mm trên mặt nước phát ra hai sóng kết hợp có phương trình = = 2cos200πt mm. Vận tốc truyền sóng trên mặt nước là 0,8 m/s. Điểm gần nhất dao động ngược pha với nguồn trên đường trung trực của cách nguồn bao nhiêu:

A. 16 mm   B. 32 mm

C. 28 mm   D. 24 mm

Lời giải

Chọn C.

Xét điểm M trên trung trực của : M = M = d.

Bước sóng λ = v/f = 8mm

Sóng tổng hợp tại M: = 4cos(2000πt – 2πd/λ) mm

ngược pha với nguồn khi = (2k + 1)π → d = (k + 0,5)λ.

Ta có d > 0,5. → (k + 0,5)π > 25 ↔ k > 2,625

Do đó: d = khi k = 3 => = 3,5.λ = 28 mm.

Câu 6:

Hai nguồn sóng A, B cách nhau 10 cm trên mặt nước tạo ra giao thoa sóng, dao động tại nguồn có phương trình = acos100πt và = bcos100πt, tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 1m/s. Số điểm trên đoạn AB có biên độ cực đại và dao động cùng pha với trung điểm I của đoạn AB (tính cả điểm I nếu có) là

A. 9   B. 5   C. 11   D. 4

Lời giải

Chọn B.

Bước sóng λ = v/f = 1/50 = 0,02m = 2cm.

Do hai nguồn cùng pha nên trung điểm I là cực đại. Các điểm cực đại khác trên AB cùng pha với I cách I một đoạn d = kλ.

Do vậy số điểm cực đại đồng pha với trung điểm I trên đoạn AB cần tìm là:

= 2[AB/2λ] + 1 = 2.[10/2.2]+ 1 = 2.[2,5]+ 1 = 2.2 +1 = 5 điểm

Câu 7:

Hai nguồn sóng nước A và B cùng pha cách nhau 12 cm đang dao động điều hòa vuông góc với mặt nước có bước sóng là 1,6 cm. M là một điểm cách đều 2 nguồn một khoảng 10 cm, O là trung điểm của AB, N đối xứng với M qua O. Số điểm dao động ngược pha với nguồn trên đoạn MN là:

A. 2   B. 8   C. 4   D. 6

Lời giải

Chọn C.

Biểu thức sóng tại A: u = acos(ωt + φ)

Xét điểm C trên OM: AC = BC = d

Ta có: 6 ≤ d ≤ 10 (vì OA = 6 cm; OC = 8 cm.

Biểu thức sóng tại C: uC = 2acos(ωt – 2πd/λ).

Điểm C dao động ngược pha với nguồn khi:

2πd/λ = (2k+1)π => d = (k + 0,5)λ = 1,6(k + 0,5)

→ 6 ≤ d = 1,6k + 0,8 ≤ 10

=> 5,2 ≤ 1,6k ≤ 9,2

=> 3,25 ≤ k ≤ 5,75

Có 2 giá trị k nguyên.

Do đó trên OM có 2 điểm dao động ngược pha với nguồn.

Do vậy trên MN có 4 điểm dao động ngược pha với nguồn.

Câu 8:

(ĐH 2011). Ở mặt chất lỏng có hai nguồn sóng A, B cách nhau 18 cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình là = = acos50πt (với t tính bằng s). Tốc độ truyền sóng của mặt chất lỏng là 50 cm/s. Gọi O là trung điểm của AB, điểm M ở mặt chất lỏng nằm trên đường trung trực của AB và gần O nhất sao cho phần tử chất lỏng tại M dao động cùng pha với phần tử chất lỏng tại O. Khoảng cách MO là

A. 10 cm.   B. 2√10 cm.

C. 2√2 cm.   D. 2 cm.

Lời giải

Chọn B.

Bước sóng λ = v/f = 50/25 = 2cm.

Phương trình dao động của O trung điểm của AB

↔ = 2acos(100πt – π )

→ tại O ngược pha với hai nguồn → điểm M ngược pha hai nguồn.

Suy ra = (k+1/2)λ .

Ta có > AB/2 => k > 4

Ta thấy khi k = 5

=> = 11 cm

Câu 9:

Hai nguồn sóng kết hợp trên mặt nước cách nhau một đoạn = 9λ phát ra dao động u = cos20t. Trên đoạn , số điểm có biên độ cực đại ngược pha với nguồn (không kể hai nguồn) là:

A. 8.   B. 9

C. 17.   D. 16.

Lời giải

Chọn B.

Phương trình dao động của O trung điểm của :

↔ = 2Acos(ωt + φ – π)

Suy ra O dao động ngược pha với hai nguồn. Các điểm cực đại ngược pha với nguồn sẽ đồng pha với O và cách O một đoạn d = kλ.

Do vậy số điểm cực đại ngược pha với nguồn trên đoạn cần tìm là:

= 2.[/λ] +1= 2.[9λ/2λ] + 1 = 2.[4,5] + 1 = 9 điểm.

Câu 10:

Hai nguồn phát sóng kết hợp A và B trên mặt chất lỏng dao động theo phương trình = acos100πt và = bcos100πt. Tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 1,2 m/s. I là trung điểm đoạn AB, M là điểm nằm trên đoạn AI, N là điểm nằm trên đoạn IB. Biết IM = 5cm, IN = 6,5cm. Số điểm nằm trên MN có biên độ cực đại và cùng pha với I là (không tính I):

A. 7.   B. 6.

C. 5.   D. 4.

Lời giải

Chọn D.

Bước sóng: λ = v/f = 2,4cm

Vì hai nguồn đồng pha nên I là cực đại.

Do đó để C là cực đại cùng pha với I thì

x = kλ = 2,4k (k ϵ Z).

Điều kiện thuộc MN:

-5 ≤ 2,4k ≤ 6,5

↔ -2,08 ≤ k ≤ 2,7.

Có 5 giá trị k ϵ Z, nhưng vì không tính I nên bỏ giá trị k = 0.

Vậy có 4 điểm

Câu 11:

(QG – 2014). Trong một thí nghiệm giao thoa sóng nước, hai nguồn và cách nhau 16 cm, dao động theo phương vuông góc với mặt nước, cùng biên độ, cùng pha, cùng tần số 80 Hz. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40 cm/s. Ở mặt nước, gọi d là đường trung trực của đoạn . Trên d, điểm M ở cách 10 cm; điểm N dao động cùng pha với M và gần M nhất sẽ cách M một đoạn có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây?

A. 7,8 mm.   B. 6,8 mm.

C. 9,8 mm.   D. 8,8 mm.

Lời giải

Chọn A.

+ Bước sóng của sóng λ = v/f = 0,5 cm.

+ Các điểm trên trung trực của dao động với phương trình u = 2acos(ωt - 2πd/λ) .

Vật để N và M cùng pha nhau thì:

+ Với – = kλ, để N gần M nhất thì k = 1→ = 9,5 cm.

Khi đó:

+ Với – = kλ, để N gần M nhất thì k = 1 → = 10,5 cm.

Khi đó:

Chọn MN = 0,8cm = 8mm.

Câu 12:

(Minh họa – 2017) Ở mặt nước, tại hai điểm và có hai nguồn dao động cùng pha theo phương thẳng đứng, phát ra hai sóng kết hợp có bước sóng λ. Cho = 5,4λ. Gọi (C) là hình tròn nằm ở mặt nước có đường kính . Số vị trí trong (C) mà các phần tử ở đó dao động với biên độ cực đại và cùng pha với dao động của nguồn là

A. 18.   B. 9.

C. 22.   D. 11.

Lời giải

Chọn A.

Vì hai nguồn đồng pha, ta xét tỉ số

→ trên có tất của 11 điểm cực đại

Điều kiện để một điểm M dao động với biên độ cực đại và cùng pha với nguồn:

+ Cực đại: – = kλ (1)

+ Cùng pha: + = n.λ (2)

Với k và n hoặc cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Điểm M nằm trong đường tròn (C), ở nửa trên, thỏa mãn:

Bình phương hai cộng vế theo vế (1) và (2) ta thu được:

Kết hợp các điều kiện trên ta thu được:

+ Với k = 0, n = 6 hoặc 7, ta chỉ lấy giá trị 6 (do n, k cùng chẵn hoặc cùng lẻ)

+ Với k = 1, n = 6 hoặc 7, ta chỉ lấy giá trị 7

Tương tự như vậy, tất cả các giá trị của k ta thu được 9 giá trị của n.

Do tính đối xứng nên trong đường tròn (C) sẽ có tất cả 18 điểm dao động với biên độ cực đại và cùng pha với hai nguồn.

Câu 13:

Trong thí nghiệm giao thoa sóng trên mặt nước, hai nguồn , cách nhau 20 cm dao động theo phương thẳng đứng với các phương trình tương ứng = = acosωt. Bước sóng trên mặt nước do hai nguồn này tạo ra là λ = 4cm. Trên mặt nước, đường tròn đường kính cắt một vân giao thoa cực đại bậc nhất tại hai điểm M, N. Trên vân giao thoa cực đại bậc nhất này, số điểm dao động cùng pha với các nguồn , trên đoạn MN là:

A. 4   B. 6   C. 5   D. 3

Lời giải

Chọn D.

M nằm trên cực đại thứ nhất nên – = λ.

Mặc khác M nằm trên đường tròn đường kính d nên ta luôn có

+ = → + = 28cm

Các điểm trên cực đại bậc nhất sẽ dao động với phương trình

Để các điểm nằm trên MN cùng pha với nguồn thì + = (2k + 1)λ

Ta xét nửa khoảng ở trên đường d thì: 20 ≤ + = (2k + 1)λ ≤ 28

↔ 2 ≤ k ≤ 3 → có 2 giá trị của k nguyên ứng với 4 điểm trên MN, nhưng vì có điểm chung thuộc nên trên cả đoạn MN sẽ có tất cả 3 điểm dao động cùng pha với nguồn.