Phương pháp & Ví dụ

1. Phương pháp

- Dựng các véc tơ

,

, A hoặc xây dựng được các biểu thức thể hiện mối quan hệ giữa đại lượng cần đánh giá cực trị với các đại lượng khác.

- Dựa vào yêu cầu của bài toán áp dụng định lí Sin trong tam giác

Hoặc sử dụng các bất đẳng thức như cosin, Bunhiacopxki, cực trị của hàm số để suy ra điều kiện cần tìm.

- Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tính toán kết quả.

Ví dụ 1:

Câu 18 – ĐH2012 – M371. Cho

=

cos(πt + π/6) cm và

= 6cos(πt – π/2) cm là phương trình của hai dao động cùng phương. Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình x = Acos(πt + φ) cm. Thay đổi

cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì

A. φ = 0 rad.

B. φ = –π/3 rad.

C. φ = –π/6 rad.

D. φ = π rad.

Hướng dẫn:

Ví dụ 2:

Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động cùng phương. Phương trình ly độ của các dao động thành phần và dao động tổng hợp lần lượt là

=

cos(ωt) cm;

= 3cos(ωt + α) cm; và x = Acos(ωt+ π/6) cm. Biên độ dao động A1 có giá trị lớn nhất là

A. 9 cm.        B. 6 cm.

C. 8 cm.        D. 12 cm.

Hướng dẫn:

Ví dụ 3:

Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có phương trình là

=

cos(ωt – π/3) và

=

cos(ωt + π/3). Dao động tổng hợp có biên độ 4√3 cm. Khi

đạt giá trị cực đại thì

có giá trị là

A. 2 cm.        B. 3 cm.

C. 5 cm.        D. 4 cm.

Hướng dẫn:

Khi

đạt giá trị cực đại

Độ lệch pha Δφ = π/3 – (-π/3) = 2π/3.

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác OAA1:

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1.

Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình

=

cos(πt + π/6)(cm) và

= 6cos(πt - π/2) (cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình x = Acos(πt + φ) (cm). Thay đổi

cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì

A. φ = -π/6 rad     B. φ = π rad

C. φ = -π/3 rad     D. φ = 0 rad

Lời giải

Vẽ giản đồ như hình vẽ.

Theo định lí hàm sin:

⇒ A đạt giá trị cực tiểu khi sin(π/6 - φ) = 1

Do đó φ = -π/3

Câu 2.

Cho hai phương trình dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình

=

cos(4πt - π/6) cm và

=

cos(4πt - π) cm. Phương trình dao động tổng hợp x = 9cos(4πt - φ) cm. Biết biên độ

có giá trị cực đại. Giá trị của

và phương trình dao động tổng hợp là:

A. x = 9√2cos(4πt - π/4) cm

B. x = 9√2cos(4πt + 3π/4) cm

C. x = 9cos(4πt - 2π/3) cm

D. x = 9cos(4πt + π/3) cm

Lời giải

Vẽ giản đồ vectơ

Dựa vào giản đồ vectơ. Áp đụng định lý hàm số sin

Từ (1) ⇒ khi α = 90°:

= A/(1/2) = 2A = 18 cm

Tam giác

vuông tại A, nên ta có:

Xác định pha ban đầu tổng hợp

Dựa vào giản đồ vec tơ: φ = π/2 + π/6 = 2π/3

Vậy phương trình dao động tổng hợp là: C. x = 9cos(4πt - 2π/3) cm

Câu 3.

Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động

=

cos(ωt + π/3) cm và

=

cos(ωt - π/2) cm. Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động này là: x = 6cos(ωt + φ) cm. Biên độ

thay đổi được. Thay đổi

để

có giá trị lớn nhất. Tìm ?

A. 16 cm     B. 14 cm

C. 18 cm     D. 12 cm

Lời giải

Độ lệch pha giữa 2 dao động:

Δφ = 5π/6 rad không đổi.

Biên độ của dao động tổng hợp A = 6 cm cho trước.

Biểu diễn bằng giản đồ vectơ như hình vẽ

Ta có:

Vì α, A không đổi nên sẽ lớn nhất khi sinβ lớn nhất tức là góc β = 90°.

Khi đó

Câu 4.

Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, theo các phương trình = 3cos(4t + π/2) cm và = cos(4t) cm. Biết khi động năng của vật bằng một phần ba năng lượng dao động thì vật có tốc độ 8√3 cm/s. Biên độ bằng

A. 1,5 cm     B. 3 cm

C. 3√2 cm     D. 3√3 cm.

Lời giải

Ta có

Câu 5.

Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình là , , . Biết = 6cos(πt + π/6) cm; = 6cos(πt + 2π/3) cm; = 6√2cos(πt + π/4) cm. Khi li độ của dao động đạt giá trị cực đại thì li độ của dao động là:

A. 0 cm     B. 3 cm

C. 3√2 cm     D. 3√6 cm

Lời giải

Ta thấy sớm pha hơn góc π/2

⇒ max thì = 0.

Câu 6.

Hai vật dao động điều hòa với phương trình = cos20πt (cm), = cos20πt (cm). Tính từ thời điểm ban đầu, thì cứ sau 0,125s thì khoảng cách 2 vật lại bằng . Biên độ là

Lời giải

+ Điều kiện để khoảng cách giữa hai vật là thì > , lúc đó phương trình khoảng cách:

Δx = – = ( – )cos20π   (⋇)

+ Ở thời điểm + 0,125s có:

( – )cos20π( + 0,125) =

⇔ ( – )cos(20π + 2,5π) =     (⋇⋇)

+ Từ (⋇) và (⋇⋇): tan20π = 1 ⇒ tan20π = √2/2

thay vào (⋇) ta có được:

Câu 7.

Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng chu kì T = 4s dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều ở trên cùng một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Tại thời điểm hai vật đi ngang qua nhau, hỏi sau thời gian ngắn nhất là bao nhiêu kể từ thời điểm khoảng cách giữa chúng bằng 5√2 cm

A. 1 s     B. 1/3 s

C. 1/2 s     D. 1/6 s

Lời giải

+ Chọn gốc thời gian là thời điểm hai vật đi ngang qua nhau thì phương trình khoảng cách giữa hai vật có thể chọn

Δx = - = 10sin(0,5πt) cm

+ Thời gian ngắn nhất để hai vật cách nhau 5 cm là thời gian ngắn nhất đi từ Δx = 0 đến Δx = 5 cm là: T/8 = 1/2 s.

Câu 8.

Cho hai phương trình dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình = cos(4πt - π/6) cm và = cos(4πt - π) cm. Phương trình dao động tổng hợp x = 9cos(4πt - φ) cm. Biết biên độ có giá trị cực đại. Giá trị của ; và φ là:

A. = 9√3 cm; = 18 cm; φ = -2π/3 rad

B. = 9 cm; = 9√3 cm; φ = π/3 rad

C. = 9√3 cm; = 9 cm; φ = 2π/3 rad

D. = 9 cm; = 18 cm; φ = -π/3 rad

Lời giải

Độ lệch pha giữa thành phần tổng hợp với

Thành phần thứ hai:

φ - φ = -π/3 + π/2 = π/6

Theo định lý hàm sin:

Ta lại có: = + - cos(φ - φ)

⇔ - cos(π/6) = 0

⇒ = √ = 10√3 cm.

Chọn A.

Câu 9.

(ĐH 2014) Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình lần lượt là = cos(ωt + 0,35) cm và = cos(ωt - 1,57) cm . Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình là x = 20cos(ωt + φ). Giá trị cực đại của ( + ) gần giá trị nào nhất sau đây?

A. 25 cm     B. 20 cm

C. 40 cm     D. 35 cm

Lời giải

Theo bài ra:

Áp dụng định lí hàm số sin:

⇒ ΔOMB cân tại M

. Chọn D

Câu 10.

(Trích đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 2 năm 2013): Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ bằng trung bình cộng của hai biên độ thành phần và lệch pha so với dao động thành phần thứ nhất là 90°. Độ lệch pha của hai dao động thành phần đó là:

A. 120°     B. 126,9°

C. 105°     D. 143,1°

Lời giải

Áp dụng định lý hàm sin:

Chọn B

Câu 11

Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình là , , . Biết = 6cos(πt + π/6) cm; = 6cos(πt + 2π/3) cm; = 6√2cos(πt + 5π/12) cm. Tính x biết = +

A. 6√2 cm     B. 12 cm

C. 24 cm     D. 6√3 cm

Lời giải

Sử dụng máy tính fx 570Es (plus) ta được:

Chọn A

Câu 12.

Cho ba vật dao động điều hòa cùng tần số, cùng khối lượng, dao động trên những trục song song kề nhau và song song với trục Ox với phương trình lần lượt

= Acos(ωt + φ

)

cm,

= Acos(ωt + φ

)

cm và

= Acos(ωt + φ

)

cm. Biết tại mọi thời điểm thì động năng của chất điểm thứ nhất luôn bằng thế năng của chất điểm thứ hai và li độ của ba chất điểm thỏa mãn hệ thức -

=

.

. Tại thời điểm mà khoảng cách giữa

và

bằng 2A/√3 thì tỉ số giữa động năng của chất điểm thứ nhất so với chất điểm thứ ba là

A. 9/11     B. 11/9

C. 9/4     D. 4/9

Lời giải

+ Ta có

=

⇔ mω

(

-

)

= mω

⇔

+

=

+ Tại mọi thời điểm :

-

=

.

⇒

-

=

⇔

(

-

)

=

+ Khi khoảng cách giữa hai chất điểm 2 và 3 là 2A/√3 ta có :

Chọn A

Câu 13.

Một chất điểm tham gia đồng thời ba dao động điều hòa có phương trình

= 2cos(ωt) cm;

= 2cos(ωt + φ

)

cm và

= 2cos(ωt + φ

)

cm với φ

≠ φ

và 0 ≤ φ

; φ ≤ π. Dao động tổng hợp của và có biên độ là 2 cm, dao động tổng hợp của và có biên độ 2√3 cm. Độ lệch pha giữa hai dao động và là

A. 5π/6     B. π/3

C. π/2     D. 2π/3

Lời giải

Nhận thấy biên độ các dao động thành phần bằng nhau nên:

Chọn B

Câu 14.

Hai vật dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là = cos(ωt + φ) và = cos(ωt + φ). Gọi = + và = - . Biết rằng biên độ dao động của gấp 3 lần biên độ dao động của . Độ lệch pha cực đại giữa và gần nhất với giá trị nào sau đây ?

A. 50°     B. 40°

C. 30°     D. 60°

Lời giải

+ Ta có:

+ Mà: =

⇒ cosΔφ = 8( + ) ≥

Vậy giá trị gần nhất với Δφ là 40°. Chọn B

Câu 15.

(Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình lần 2/2016) Ba chất điểm , và dao động điều hòa trên ba trục tọa độ song song cách đều nhau với các gốc tọa độ tương ứng , và như hình vẽ. Khoảng cách giữa hai trục tọa độ liên tiếp là a = 2 cm. Biết rằng phương trình dao động của và là = 3cos2πt (cm) và = 1,5cos(2πt + π/3) (cm). Ngoài ra, trong quá trình dao động, ba chất điểm luôn luôn thẳng hàng với nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm và gần giá trị nào nhất sau đây?

A. 6,56 cm

B. 5,20 cm

C. 5,57 cm

D. 5,00 cm

Lời giải

+ Điều kiện để 3 chất điểm luôn thẳng hàng là: = ( + )/2

+ Khoảng cách cực đại giữa hai chất điểm và là:

Chọn A

Câu 16.

Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số và có dạng phương trình = √3cos(4t + φ) cm, = 2cos(4t + φ) cm với 0 ≤ φ − φ ≤ π. Biết phương trình dao động tổng hợp x = cos(4t + π/6) cm. Giá trị φ là

A. 2π/3     B. –π/6

C. π/6     D. −2π/3

Lời giải

Ta có 1 = 3 + 4 + 2(√3).2.cosΔφ

⇒ Δφ = 5π/6 = φ - φ

⇒ φ = φ - 5π/6