Phương pháp & Ví dụ

* Giải phương trình lượng giác được các nghiệm

* Từ < t ≤ ⇒ Phạm vi giá trị của (với k ∈ Z)

* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.

Lưu ý:

+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.

+ Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần.

Ví dụ 1:

Vật dao động điều hòa với phương trình : (1).

a) Trong khoảng thời gian 2,5 s vật qua vị trí x = 3 cm mấy lần.

b) Trong khoảng thời gian 2,0 s vật qua vị trí x = 4 cm theo chiều dương mấy lần.

c) Trong khoảng thời gian 2,5 s vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương mấy lần.

d) Trong khoảng thời gian 2,86 s vật qua vị trí cân bằng mấy lần.

Hướng dẫn:

Trước tiên ta biểu diễn phương trình (1) trên vòng tròn, với φ = π/6 rad.

Vật xuất phát từ M, theo chiều âm.

a) Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s

⇒ góc quét Δφ = Δt.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π + π/2

Từ vòng tròn ta thấy:

Trong một chu kỳ vật qua x = 3cm được 2 lần tại P(chiều âm) và Q(chiều dương)

Trong Δφ = 6.2π ; 6 chu kỳ vật qua x = 3cm được 6.2 = 12 lần

Còn lại Δφ = π/2 từ M → N vật qua x = 3cm một lần tại P(chiều âm).

Vậy: Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s vật qua x = 3cm được 12 + 1 = 13 lần.

b. Trong khoảng thời gian Δt = 2 s

⇒ góc quét Δφ = Δt.ω = 2.5π = 10π = 5.2π

Vật thực hiện được 5 chu kỳ (quay được 5 vòng)

Từ vòng tròn ta thấy:

Trong một chu kỳ vật qua vị trí x = +4cm theo chiều dương được một lần (tại N)

Vậy: trong 5 chu kỳ thì vật qua vị trí x = 4cm theo chiều dương được 5 lần.

c. Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s

⇒ góc quét Δφ = Δt.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π + π/2

Từ vòng tròn ta thấy:

Trong một chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 1 lần tại P.

Trong Δφ = 6.2π ; 6 chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 6 lần tại P.

Còn lại Δφ = π/2 từ M → N vật qua không qua vị trí cân bằng theo chiều dương lần nào.

Vậy trong khoảng thời gian Δt = 2,5s vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 6 lần.

d) Trong khoảng thời gian Δt = 2,86s

⇒ góc quét Δφ = Δt.ω = 2,86.5π = 14,3π = 7.2π + 0,3π

Từ vòng tròn ta thấy:

Trong một chu kỳ vật qua vị trí cân bằng 2 lần tại và .

Trong Δφ = 7.2π; 7 chu kỳ vật qua vị trí cân bằng 14 lần tại P và Q.

Còn lại Δφ = 0,3π từ M → N vật qua không qua vị trí cân bằng lần nào.

Vậy trong khoảng thời gian Δt = 2,86s vật qua vị trí cân bằng 15 lần.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1.

Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình (x tính bằng cm và t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = + 1 cm.

A. 7 lần.    B. 6 lần.

C. 4 lần.    D. 5 lần.

Lời giải

Theo giả thuyết ta có:

Từ yêu cầu bài toán ta chi có thể nhận:

Như vậy, có cả 5 lần chất điểm đi qua vị trí có li độ x = + 1 cm.

Chọn đáp án D.

Câu 2.

Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình

(x tính bằng cm và t tính bằng giây). Từ thời điểm

đến thời điểm

= 1,5s, chất điểm đi qua vị trí có vận tốc

mấy lần?

A. 2 lần.    B. 5 lần.

C. 4 lần.    D. 6 lần.

Lời giải

∆t =

–

= 17/12s = 1T + 5T/12

→ ∆φ = 2π + 5π/6

Chất điểm đi qua vị trí có vận tốc:

Theo hình vẽ, nhận thấy có 2 vị trí biểu diễn P và Q trên vòng tròn mà vật có vận tốc v = 6√3π cm/s.

Trong Δφ

= 2π ; 1 chu kỳ vật có hai lần có vận tốc v thỏa mãn.

Còn lại Δφ

= 5π/6 từ M → N vật không có lần nào có vật tốc thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Vậy trong khoảng thời điểm

đến thời điểm

= 1,5s, chất điểm đi qua vị trí có vận tốc

2 lần.

Chọn đáp án A

Câu 3.

Một vật dao động điều hòa với phương trình

cm (t tính bằng giây). Số lần vật đi qua vị trí có động năng bằng 8 lần thế năng từ thời điểm

đến thời điểm

là:

A. 8 lần.    B. 9 lần.

C. 10 lần. D. 11 lần.

Lời giải

Chọn B

+ Ta thấy cứ 1T vật đi qua 2 vị trí

tất cả 4 lần.

⇒ Sau 2T vật đi qua 8 lần.

Khi đó, vật ở vị trí = 0cm (VTCB) đi tiếp lượng đến = -2cm qua vị trí một lần nữa.

Ta có hình ảnh minh họa hình trên.

⇒ Tổng cộng vật đi qua vị trí động năng bằng 8 lần thế năng 9 lần.

Câu 4.

Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos(3πt + π/4) cm (t tính bằng giây). Số lần vật đạt tốc độ cực đại trong giây đầu tiên là:

A. 4 lần.    B. 2 lần.

C. 1 lần.    D. 3 lần

Lời giải

Vật đạt tốc độ cực đại khi vật qua VTCB (x = 0).

Vị trí bắt đầu quét: ϕ = 3π.0 + π/4 = π/4

Sau 1 giây, góc quét thêm là: ∆ϕ = ω.∆t = 3π = 2π + π

Trong một chu kỳ vật qua vị trí cân bằng 2 lần tại và .

Trong Δφ = 2π ứng với 1 chu kỳ vật qua vị trí cân bằng 2 lần tại P và Q.

Còn lại Δφ = π từ M → N vật qua vị trí cân bằng thêm 1 lần.

Vậy trong khoảng thời gian 1 giây đầu tiên vật qua vị trí cân bằng 3 lần.

Chọn D.

Câu 5.

Một chất điểm động điều hòa với phương trình x = 10cos(5πt - π/3) cm (t tính bằng giây). Sau khoảng thời gian 4,2s kể từ t = 0 chất điểm đi qua vị trí có li độ - 5cm theo chiều dương bao nhiêu lần:

A. 20 lần.    B. 10 lần.

C. 21 lần.    D. 11 lần

Lời giải

Vị trí bắt đầu quét: ϕ = 5π.0 - π/3 = π/3

Sau 4,2 giây, góc quét thêm là: ∆ϕ = ω.∆t = 4,2.5π = 10.2π + π

Trong một chu kỳ vật qua vị trí x = -5 theo chiều dương 1 lần tại P.

Trong Δφ = 10.2π ứng với 10 chu kỳ vật vị trí x = -5 theo chiều dương 10 lần tại P

Còn lại Δφ = π từ M → N vật không qua vị trí x = -5 theo chiều dương.

Vậy trong khoảng thời gian 4,2 giây vật qua vị trí x = -5 theo chiều dương 10 lần.

Chọn B