Sách Giải Bài Tập và SGK
Mục lục
Dạng 1: Tổng hợp dao động điều hòa
Phương pháp & Ví dụ
1. Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc-tơ quay
Xét một véc tơ quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O, có đặc điểm:
• Độ dài vec tơ bằng A.
• Tốc độ quay ω.
• Ban đầu hợp với trục Ox góc φ.
Khi đó, hình chiếu P của ngọn véc tơ xuống trục Ox biểu diễn một dao động điều hòa x = Acos(ωt + φ).
2. Tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
Khi vật tham gia đồng thời nhiều dao động cùng tần số thì dao động của vật là dao động tổng hợp. Giả sử một vật tham gia đồng thời hai dao động :
= A1cos(ωt + φ
)
= A2cos(ωt + φ
)
Khi đó dao động tổng hợp có dạng x = Acos(ωt + φ). Hai cách tính :
• Nếu cùng biên độ thì cộng lượng giác x =
+
(ít gặp).
• Nếu biên độ khác nhau thì nên sử dụng biểu diễn véc tơ quay để tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:
Phương pháp véc tơ quay:
=
+
+
cos(φ
– φ
)
Nếu véc tơ :
• Cùng pha ⇒
=
+
, φ = φ
= φ
.
• Ngược pha ⇒
=
–
|.
Nếu
>
⇒φ = φ
;
nếu
<
⇒ φ = φ
.
• Vuông pha ⇒
=
+ 
.
• Khi 
và
xác định, φ
và φ
chưa biết, ta luôn có
– 
| ≤ A ≤ 
+ 
|
3. Sử dụng máy tính giải bài toán tổng hợp phương trình dao động
Ví dụ 1:
Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa 
= 3cos(4πt + π/6) cm và 
= 3cos(4πt + π/2) cm. Hãy xác định dao động tổng hợp của hai dao động trên?
A. x = 3√3cos(4πt + π/6) cm
B. x = 3√3cos(4πt + π/3) cm
C. x = 3√3cos(4πt + π/3) cm
D. x = 3cos(4πt + π/3) cm
Hướng dẫn:
Ta có: dao động tổng hợp có dạng: x = Acos(ωt + φ) cm
Trong đó:
Phương trình dao động cần tìm là x = 3√3cos(4πt + π/3) cm
Ví dụ 2:
Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa với biên độ lần lượt là 3 cm và 5 cm. Trong các giá trị sau giá trị nào không thể là biên độ của dao động tổng hợp.
A. 4 cm B. 5 cm
C. 3cm D. 10 cm
Hướng dẫn:
Ta có: 
- 
| ≤ A ≤ 
+ 
⇒ 2 cm ≤ A ≤ 8 cm
Ví dụ 3:
Một vật thực hiện hai dao động điều hòa với phương trình lần lượt là 
= 4cos(6πt + π/3); 
= cos(6πt + π) cm. Hãy xác định vận tốc cực đại mà dao động có thể đạt được.
A. 54π cm/s B. 6π cm/s
C. 45cm/s D. 9π cm/s
Hướng dẫn:
Ta có: 
= A.ω ⇒ 
khi 
Với 
= 9 cm khi hai dao động cùng pha
⇒ 
= 9.6π = 54π cm/s.
Ví dụ 4:
Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình dao động tổng hợp x = 5√2 cos(πt + 5π/12) với các dao động thành phần cùng phương, cùng tần số là 
= 
cos(πt + π1) và 
= 5cos(πt + π/6 ), pha ban đầu của dao động 1 là:
A. φ
= 2π/3 B. φ
= π/2
C.φ
= π/4 D. φ
= π/3
Hướng dẫn:
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.
Cho hai dao động điều hoà cùng phương có phương trình dao động lần lượt là 
= 3√3sin(5πt + π/2)(cm) và 
= 3√3sin(5πt - π/2)(cm). Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động trên bằng
A. 0 cm B. 3 cm
C. 63 cm D. 33 cm
Lời giải
Hai dao động trên ngược pha nhau vì
Δφ = φ
-φ
= -π
nên biên độ dao động tổng hợp sẽ là:
A = 
- 
| = 0.
Câu 2.
Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là 
= 3cos10t (cm) và 
= 4sin(10t + π/2)(cm). Gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng
A. 7 m/
B. 3 m/
C. 6 m/
D. 13 m/
Lời giải
Đưa phương trình li độ của dao động thứ 2 về dạng chuẩn theo cos:
= 4sin(10t + π/2) = 4cos(10t)
Từ đây ta thấy rằng: hai dao động trên cùng pha vì thế biên độ dao động tổng hợp:
A = 
+ 
= 3 + 4 = 7 (cm)
Gia tốc có độ lớn cực đại:
= ω
= 100.7
= 700 cm/
= 7 m/
Câu 3.
Dao động của một chất điểm có khối lượng 100 g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là 
= 5cos(10t) và 
= 10cos(10t) (
và 
tính bằng cm, t tính bằng s). Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Cơ năng của chất điểm bằng
A. 0,1125 J B. 225 J
C. 112,5 J D. 0,225 J
Lời giải
Hai dao động trên cùng pha vì thế biên độ dao động tổng hợp:
A = 
+ 
= 5 + 10 = 15 cm
Cơ năng của chất điểm:
E = (1/2).m.ω
= (1/2). 0,1. 
.0,
= 0,1125 J
Câu 4.
Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là 
= 4cos(10t + π/4)(cm) và 
= 3cos(10t - 3π/4)(cm). Độ lớn vận tốc của vật ở vị trí cân bằng là
A. 100 cm/s B. 50 cm/s
C. 80 cm/s D. 10 cm/s
Lời giải
Ta có: Δφ = φ
-φ
= (-3π/4)-π/4 = -π
⇒ hai dao động trên ngược pha
Biên độ dao động tổng hợp:
A = 
- 
| = 1 cm
Vận tốc của ở VTCB là:
= 
= ωA = 10.1 = 10 cm/s .
Chọn D
Câu 5.
Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động cùng phương có phương trình lần lượt là 
= Acosωt và 
= Asinωt. Biên độ dao động của vật là
A. √3A B. A
C. √2A D. 2A
Lời giải
Chuyển phương trình của thành phần thứ 2 về dạng chuẩn theo cos:
= Asinωt = Acos(ωt - π/2)
Câu 6.
Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ bằng nhau và bằng A nhưng pha ban đầu lệch nhau π/3 rad. Dao động tổng hợp có biên độ là
A. 1 A B. √2A
C. 2A D. √3A
Lời giải
Biên độ dao động tổng hợp:
Theo bài ra thì hai dao động lệch pha nhau π/3 nên
cos(φ
- φ
) = cos(π/3) = 1/2
Vì thế biên độ dao động sẽ là:
Câu 7.
Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: 
= √3cos(ωt - π/2) cm, 
= cos(ωt) cm. Phương trình dao động tổng hợp:
A. x = 2√2cos(4πt - π/4) cm
B. x = 2√2cos(4πt + 3π/4) cm
C. x = 2cos(4πt - π/3) cm
D. x = 2cos(4πt + π/3) cm
Lời giải
Câu 8.
Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương với các phương trình: 
= 5cos5πt (cm); 
= 3cos(5πt + π/2) (cm) và 
= 8cos(5πt - π/2) (cm). Xác định phương trình dao động tổng hợp của vật.
A. x = 5√2cos(5πt - π/4) cm
B. x = 5√2cos(5πt + 3π/4) cm
C. x = 5cos(5πt - π/3) cm
D. x = 5cos(5πt + 2π/3) cm
Lời giải
Cách 1:
Ta có:
= 3sin(5πt + π/2) (cm)
= 3cos5πt (cm)
và 
ngược pha nên:
= 8 - 3 = 5
⇒ 
= 5cos(5πt - π/2) (cm)
và 
vuông pha.
Vậy: x = 
+ 
+ 
= 5√2cos(5πt - π/4) (cm)
Cách 2: Với máy FX570ES:
Câu 9.
Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x = 5√3cos(6πt + π/2) (cm). Dao động thứ nhất có biểu thức là 
= 5cos(6πt + π/3)(cm). Tìm biểu thức của dao động thứ hai.
A. 
= 5√2cos(6πt - π/4) cm
B. 
= 5√2cos(6πt + 3π/4) cm
C. 
= 5cos(6πt - π/3) cm
D. 
= 5cos(6πt + 2π/3) cm
Lời giải
Cách 1:
Cách 2: Với máy FX570ES :
Câu 10.
Một chất điểm tham gia đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương trên trục Ox có phương trình 
= 2√3sinωt (cm) và 
= 
cos(ωt + φ
) (cm). Phương trình dao động tổng hợp x = 2cos(ωt + φ)(cm), với φ
- φ = π/3. Biên độ và pha ban đầu của dao động thành phần 2 là:
A. 
= 4 cm; φ
= π/6
B. 
= 4 cm; φ
= π/3
C. 
= 2√3 cm; φ
= π/4
D. 
= 4√3 cm; φ
= π/3
Lời giải
Viết lại phương trình dao động của thành phần 1:
Câu 11.
Cho hai dao động điều hoà cùng phương: 
= 2cos(4t + φ
)cm và 
= 2cos(4t + φ
)cm. Với 0 ≤ φ
- φ
≤ π. Biết phương trình dao động tổng hợp x = 2 cos (4t + π/6) cm. Pha ban đầu φ
là:
A. π/2 B. -π/3
C. π/6 D. -π/6
Lời giải
Câu 12.
Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ x = 3cos(πt – 5π/6) (cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ 
= 5cos(πt + π/6) (cm). Dao động thứ hai có phương trình li độ là
A. 
= 8cos(πt + π/6) cm
B. 
= 2cos(πt + π/6) cm
C. 
= 2cos(πt – 5π/6) cm
D. 
= 8cos(πt – 5π/6) cm
Lời giải
Nhận xét: ta thấy biên độ và pha đều cho rõ ràng nên cách giải nhanh nhất là dùng máy tính.
Câu 13.
Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có các phương trình: 
= 
cos(ωt + π/2) (cm); 
= 5 cos(ωt + φ)(cm). Phương trình dao động tổng hợp là x = 5√3cos(ωt + π/3). Giá trị của 
bằng
A. 5,0 cm hoặc 2,5 cm.
B. 2,5√3 cm hoặc 2,5 cm
C. 5,0 cm hoặc 10 cm
D. 2,5√3 cm hoặc 10 cm
Lời giải
Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác 
A
Câu 14.
Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có các phương trình: 
= 
cos(ωt + π/2) (cm); 
= 5 cos(ωt + φ)(cm). Phương trình dao động tổng hợp là x = 5√3cos(ωt + π/3). Giá trị của 
bằng
A. 5,0 cm hoặc 2,5 cm.
B. 2,5√3 cm hoặc 2,5 cm
C. 5,0 cm hoặc 10 cm
D. 2,5√3 cm hoặc 10 cm
Lời giải
Câu 15.
Cho hai dao động điều hoà cùng phương: 
= 2cos(4t + φ
)cm và 
= 2cos(4t + φ
)cm. Với 0 ≤ φ
- φ
≤ π. Biết phương trình dao động tổng hợp x = 2cos(4t + π/6) cm. Pha ban đầu φ
là:
A. π/2 B. -π/3
C. π/6 D. -π/6
Lời giải
Chọn D