A. Phương pháp giải

Xét một mạch dao động điện từ LC đang hoạt động ổn định. Trong mạch dao động LC có năng lượng điện từ bao gồm năng lượng điện trường và năng lượng từ trường.

1. Năng lượng điện trường

tích trữ trong tụ điện và có biểu thức là

* Ta có:

* Gọi ω’, T’, f’, φ’ lần lượt là tần số góc, chu kì, pha ban đầu của năng lượng điện trường ta có: ω’ = 2ω; T’ = T/2; f’ = 2f, φ’ = 2φ.

2. Năng lượng từ trường

tích trữ trong cuộn cảm và có biểu thức là

* Ta có:

* Gọi ω’, T’, f’, φ’ lần lượt là tần số góc, chu kì, pha ban đầu của năng lượng từ trường ta có: ω’ = 2ω; T’ = T/2; f’ = 2f, φ’ = 2φ +- π => ngược pha với

.

3. Năng lượng điện từ trong

W = WC + WL

mạch LC bằng tổng của năng lượng điện trường và năng lượng từ trường:

4. Công thức suy luận liên quan:

* Để tính các giá trị tức thời (u, i) ta dựa vào phương trình bảo toàn năng lượng:

* Để tính các giá trị tức thời (i, q) ta dựa vào hệ thức liên hệ:

* Khi = ta có:

* Khi = ta có:

5. Dạng đồ thị của năng lượng điện trường và từ trường

* Trong mạch dao động điện lý tưởng luôn có sự biến đổi năng lượng qua lại giữa năng lượng điện trường và năng lượng từ trường nhưng tổng của chúng tức năng lượng điện từ luôn bảo toàn và tỉ lệ với , ,

* Từ công thức

ta thấy năng lượng điện từ chỉ phụ thuộc vào đặc tính của mạch và cách kích thích ban đầu.

* Trong mạch dao động điện lý tưởng và biến thiên tuần hoàn nhưng ngược pha nhau với chu kì bằng nửa chu kì dao động của mạch và tần số bằng 2 lần tần số dao động của mạch.

* Trong mạch dao động điện lý tưởng và biến thiên tuần hoàn quanh giá trị trung bình và luôn có giá trị dương (biến thiên từ giá trị 0 đến

=

).

* Thời gian liên tiếp để = trong 1 chu kì là = T/4 (T là chu kì dao động của mạch LC)

* Thời điểm đầu tiên để = khi mạch dao động có q = = , u = = hoặc i = = I0 là = T/8

* Thời gian liên tiếp để năng lượng điện trường (hoặc năng lượng từ trường) đạt cực đại là T/2.

6. Mạch LC dao động tắt dần:

* Công suất hao phí do cuộn dây có điện trở R là: = .R (với ) và để duy trì dao động của mạch thì công suất bổ sung phải bằng công suất hao phí.

* Năng lượng cần bổ sung trong 1 chu kì là ∆ = .T = .R.T

* Năng lượng cần bổ sung trong thời gian t là = .t = .R.t.

Ví dụ 1 (CĐ – 2011):

Trong mạch dao động lí tưởng gồm tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, đang có dao động điện từ tự do. Biết hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ là . Khi hiệu điện thế giữa hai bản tụ là /2 thì cường độ dòng điện trong mạch có độ lớn bằng

Hướng dẫn

Chọn D.

Ta có:

Thay u = /2

Ví dụ 2:

Mạch dao động LC gồm tụ C = 6μF và cuộn cảm thuần. Biết giá trị cực đại của điện áp giữa hai đầu tụ điện là = 14V. Tại thời điểm điện áp giữa hai bản của tụ là u = 8V, năng lượng từ trường trong mạch bằng

A. = 588μJ.

B. = 396μJ.

C. = 39,6μJ.

D. = 58,8μJ.

Hướng dẫn

Chọn C.

Bảo toàn năng lượng ta được:

Thay số ta được năng lượng từ trường của mạch là:

Ví dụ 3:

Trong mạch dao động LC lý tưởng đang có dao động điện từ tự do. Thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp năng lượng từ trường bằng 3 lần năng lượng điện trường là s. Thời gian giữa 3 lần liên tiếp dòng điện trên mạch có giá trị lớn nhất là:

A. 3. s

B. 9. s

C. 6. s

D. 2. s.

Hướng dẫn

Chọn C.

Khi = ta có: .

Sử dụng vòng tròn lượng giác biểu diễn q, ta nhận thấy khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần = ứng với góc quét ∆φ = π/3 → ∆tmin = T/6

→ Chu kỳ mạch dao động là: T = 6.s.

Thời gian giữa 3 lần liên tiếp dòng điện trên mạch có giá trị lớn nhất là một chu kỳ T.

Ví dụ 4:

Một mạch dao động gồm tụ điện C = 0,5μF và cuộn dây L = 5mH, điện trở thuần của cuộn dây là R = 0,1Ω. Để duy trì dao động trong mạch với hiệu điện thế cực đại trên tụ là 5V ta phải cung cấp cho mạch một công suất là

A. 0,125μW.

B. 0,125mW.

C. 0,125W.

D. 125W.

Hướng dẫn

Chọn B.

Khi hiệu điện thế cực đại trên tụ là 5V thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch là:

Công suất tiêu thụ trong mạch là P = = 1,25.W = 0,125mW.

Muốn duy trì dao động trong mạch thì cứ sau mỗi chu kì dao động ta phải cung cấp một phần năng lượng bằng phần năng lượng đã bị mất tức là ta phải cung cấp một công suất đúng bằng 0,125mW.

Ví dụ 5:

Một nguồn điện có suất điện động 3V, điện trở trong 2Ω, được mắc vào hai đầu mạch gồm một cuộn dây có điện trở thuần 3Ω mắc song song với một tụ điện. Biết điện dung của tụ là 5μF và độ tự cảm là 5μH. Khi dòng điện chạy qua mạch đã ổn định, người ta ngắt nguồn điện khỏi mạch. Lúc đó nhiệt lượng lớn nhất toả ra trên cuộn dây bằng bao nhiêu?

A. 6. J.

B. 7. J.

C. 9 μJ.

D. 7μJ.

Hướng dẫn

Chọn C.

Khi dòng điện qua mạch ổn định (qua cuộn dây):

Hiệu điện thế ở hai đầu cuộn dây cũng chính là hiệu điện thế 2 đầu tụ: = = I.R = 1,8 V

Năng lượng dao động của mạch lúc ngắt nguồn:

Nhiệt lượng lớn nhất tỏa ra trên cuộn dây bằng năng lượng dao động lúc đầu của mạch.

Khi đó nhiệt lượng lớn nhất toả ra trên cuộn dây bằng năng lượng của mạch khi đó: = W = 9μJ

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1:

Một mạch dao động điện từ LC, có điện trở thuần không đáng kể. Điện áp giữa hai bản tụ biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số f. Phát biểu nào sau đây là sai ? Năng lượng điện từ

A. bằng năng lượng từ trường cực đại.

B. không thay đổi.

C. biến thiên tuần hoàn với tần số f.

D. bằng năng lượng điện trường cực đại.

Hướng dẫn

Chọn C.

Năng lượng điện từ trong mạch:

Như vậy trong mạch dao động LC lý tưởng thì năng lượng của mạch được bảo toàn. C sai.

Câu 2:

Nếu điện tích trên tụ của mạch LC biến thiên theo công thức q = cos(ωt) C. Tìm biểu thức sai trong các biểu thức năng lượng của mạch LC sau đây?

A. Năng lượng điện trường

B. Năng lượng từ trường

C. Năng lượng dao động:

D. Năng lượng dao động:

Hướng dẫn

Chọn B.

B sai vì i nhanh pha hơn q một góc π/2 nên

Câu 3:

Trong mạch dao động điện từ LC, điện tích trên tụ điện biến thiên với chu kỳ T. Năng lượng điện trường ở tụ điện

A. biến thiên tuần hoàn với chu kì T.

B. biến thiên tuần hoàn với chu kì T/2.

C. biến thiên tuần hoàn với chu kì 2T.

D. không biến thiên theo thời gian.

Hướng dẫn

Chọn B.

Năng lượng điện trường tích trữ trong tụ điện và có biểu thức là

* Ta có:

* Gọi ω’, T’, f’, φ’ lần lượt là tần số góc, chu kì, pha ban đầu của năng lượng điện trường thì năng lượng điện trường biến thiên tuần hoàn với: ω’ = 2ω; T’ = T/2; f’ = 2f, φ’ = 2φ.

Câu 4:

Trong mạch điện dao động điện từ LC, hiệu điện thế trên tụ tại thời điểm được tính theo biểu thức:

Hướng dẫn

Chọn C.

Ta có:

Câu 5:

Mạch dao động LC lí tưởng, cường độ dòng điện tức thời trong mạch biến thiên theo phương trình i = 0,04cos(ωt)A. Xác định giá trị của C biết rằng, cứ sau những khoảng thời gian nhắn nhất Δt = 0,25 (μs) thì năng lượng điện trường và năng lượng từ trường bằng nhau và bằng 0,8/π(μJ).

Hướng dẫn

Chọn D.

Khoảng thời gian nhắn nhất mà năng lượng điện trường và năng lượng từ trường bằng nhau là: T/4 = Δt = 0,25 (μs) → T = 1μs.

Khi đó:

Điện dung C:

Câu 6:

Một tụ điện có điện dung C = /2π(F) được nạp một lượng điện tích nhất định. Sau đó nối 2 bản tụ vào 2 đầu 1 cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1/5π(H). Bỏ qua điện trở dây nối. Sau khoảng thời gian ngắn nhất bao nhiêu giây (kể từ lúc nối) năng lượng từ trường của cuộn dây bằng 3 lần năng lượng điện trường trong tụ?

A. Δt = 1/300 (s).

B. Δt = 5/300 (s).

C. Δt = 1/100 (s).

D. Δt = 4/300 (s).

Hướng dẫn

Chọn A.

Chu kỳ dao động:

Ban đầu (t = 0) thì q = .

Thời điểm t thì =

Sử dụng vòng tròn lượng giác biểu diễn q, ta nhận thấy khoảng thời gian ngắn nhất từ lúc t = 0 đến khi = ứng với góc quét ∆φ = π/3 → ∆tmin = T/6 = 1/300s.

Câu 7:

Trong một mạch dao động điện từ LC, điện tích của tụ biến thiên theo hàm số q = sin(πt) C. Khi điện tích của tụ điện là thì năng lượng điện trường

A. bằng hai lần năng lượng từ trường

B. bằng ba lần năng lượng từ trường

C. bằng một nửa năng lượng từ trường

D. bằng năng lượng từ trường

Hướng dẫn

Chọn D.

Khi = thì:

Mà Vậy = .

Câu 8:

Trong mạch điện dao động điện từ LC, khi điện tích giữa hai bản tụ có biểu thức: q = - cosωt thì năng lượng tức thời của cuộn cảm và của tụ điện lần lượt là:

Hướng dẫn

Chọn A.

Ta có: q = - cosωt → i = q’ = ω.sinωt

Câu 9:

Trong mạch dao động không có thành phần trở thuần thì quan hệ về độ lớn của năng luợng từ trường cực đại với năng lượng điện trường cực đại là

Hướng dẫn

Chọn D.

Năng lượng điện từ trong mạch LC không có điện trở thuần được bảo toàn, bằng tổng của năng lượng điện trường và năng lượng từ trường:

Câu 10:

Một mạch dao động LC có cuộn thuần cảm L = 0,5H và tụ điện C = 50μF. Hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ là 5V. Năng lượng dao động của mạch và chu kì dao động của mạch là:

A. 2,5.J ; π/100 s.

B. 0,625mJ; π/100 s.

C. 6,25.J ; π/10 s.

D. 0,25mJ ; π/10 s.

Hướng dẫn

Chọn B.

Năng lượng dao động của mạch:

Chu kì dao động của mạch là:

Câu 11:

Mạch dao động gồm cuộn dây có độ tụ cảm L = 30μH một tụ điện có C = 3000pF. Điện trở thuần của mạch dao động là 1Ω. Để duy trì dao động điện từ trong mạch với hiệu điện thế cực đại trên tụ điện là 6V phải cung cấp cho mạch một năng lượng điện có công suất.

A. 1,8 W

B. 1,8 mW

C. 0,18 W

D. 5,5 mW.

Hướng dẫn

Chọn B.

Công suất hao phí do cuộn dây có điện trở R là: = .R (với ) và để duy trì dao động của mạch thì công suất bổ sung phải bằng công suất hao phí.

Năng lượng cần bổ sung trong 1 s là:

Câu 12:

Một mạch dao động điện từ LC lí tưởng gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm 2µH và tụ điện có điện dung 2 µF. Trong mạch có dao động điện từ tự do. Khoảng thời gian giữa hai lân liên tiếp mà năng lượng điện trường của tụ có độ lớn cực đại là

A. 2π µs.

B. 4π µs.

C. π µs.

D. 1 µs.

Hướng dẫn

Chọn A.

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp mà năng lượng điện trường của tụ có độ lớn cực đại là: ∆t = T/2

Câu 13

: Mạch dao động lí tưởng gồm cuộn dây có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C = 20μF. Người ta tích điện cho tụ điện đến hiệu điện thế cực đại = 4V. Chọn thời điểm ban đầu (t = 0) là lúc tụ điện bắt đầu phóng điện. Năng lượng điện trường tại thời điểm t = T/8 là ? (với T là chu kì dao động).

A. 60. J.

B. 70. J.

C. 80. J.

D. 90. J.

Hướng dẫn

Chọn C.

Điện tích tức thời: q = cos(ωt+φ)

Trong đó: = C. = 20..4 = 8.C.

Khi t = 0: q = cosφ = → cosφ = 1 → φ = 0.

Vào thời điểm t = T/8, điện tích của tụ điện bằng

Năng lượng điện trường:

Câu 14:

Một mạch dao động LC có L = 2mH, C = 8pF, lấy π = 10. Thời gian từ lúc tụ bắt đầu phóng điện đến lúc có năng lượng điện trường bằng ba lần năng lượng từ trường là:

A. 2. s

B. s

C. /75 s

D. 15 s

Hướng dẫn

Chọn D.

Chu kỳ dao động của mạch:

Khi = ¬ ↔ = /3.

Suy ra:

Hình vẽ cho ta góc quét:∆φ = π/6

Ứng với thời gian:

Câu 15.

Mạch dao động LC gồm cuộn dây có độ tự cảm L = 30μH và một tụ điện C = 3000pF. Điện trở thuần của mạch dao động là 0,1Ω. Để duy trì dao động điện từ trong mạch với hiệu điện thế cực đại trên tụ điện là 6V phải cung cấp cho mạch một năng lượng điện có công suất:

A. 0,18W.

B. 0,18mW.

C. 0,35mW.

D. 0,55mW.

Hướng dẫn

Chọn B.

Ta có:

Ta phải bổ sung công suất đúng bằng công suất hao phí (tỏa nhiệt trên R):

Câu 16.

Cho một mạch dao động LC lí tưởng điện tích trên một bản 1 của tụ điện biến thiên theo thời gian với phương trình: q = .cos(ωt + φ). Lúc t = 0 năng lượng điện trường đang bằng 3 lần năng lượng từ trường, điện tích trên bản 1 đang giảm (về độ lớn│q│) và đang có giá trị âm. Giá trị φ có thể bằng:

A. π/6.

B. -π/6.

C. -5π/6.

D. 5π/6.

Hướng dẫn

Chọn C.

Ta có:

Vì lúc t = 0, điện tích trên bản 1 đang giảm (về độ lớn │q│) và đang có giá trị âm nên từ vòng tròn biểu diễn q ta xác định được:

Câu 18:

Có hai tụ giống nhau chưa tích điện và 1 nguồn điện một chiều có suất điện động E. Lần thứ nhất, 2 tụ mắc song song, lần thứ hai, 2 tụ mắc nối tiếp, rồi nối với nguồn điện để tích điện. Sau đó tháo hệ tụ ra khỏi nguồn và khép kín mạch với 1 cuộn dây thuần cảm để tạo ra mạch dao động điện từ. Khi hiệu điện thế trên các tụ trong 2 trường hợp bằng nhau và bằng E/4 thì tỉ số năng lượng từ trong 2 trường hợp:

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Hướng dẫn

Chọn A.

+ Lần thứ nhất: Khi hai tụ mắc song song = = E:

Năng lượng của mạch dao động: (vì = = C).

Khi hiệu điện thế trên các tụ bằng nhau bằng u = = = E/4 thì năng lượng điện trường:

Khi đó năng lượng từ trường:

(1)

+ Lần thứ 2: Khi hai tụ mắc nối tiếp = = C/2; b = E

Năng lượng của mạch dao đông:

Khi hiệu điện thế trên các tụ bằng nhau bằng = = E/4 thì năng lượng điện trường

Khi đó năng lượng từ trường:

(2).

Từ (1) và (2) ta suy ra tỉ số cần tìm là 5.

Câu 19:

Một mạch dao động LC lí tưởng gồm tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Nối hai cực của nguồn điện một chiều có suất điện động E và điện trở trong r vào hai đầu cuộn cảm. Sau khi dòng điện trong mạch ổn định, cắt nguồn thì mạch LC dao động hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ là . Biết L = C. Tính tỉ số và E.

A. 10.

B. 100.

C. 5.

D. 25.

Hướng dẫn

Chọn C.

Nối hai cực của nguồn điện một chiều có suất điện động E và điện trở trong r vào hai đầu cuộn cảm. Sau khi dòng điện trong mạch ổn định ta được = E/r

Áp dụng công thức:

Câu 20:

Một mạch dao động lý tưởng gồm cuộn dây có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C, cung cấp cho tụ một năng lượng bằng cách ghép tụ vào nguồn điện không đổi có suất điện động E = 2V. Mạch thực hiện dao động điện từ với biểu thức năng lượng từ =2.ωt (J). Điện dung của tụ là:

A. 5.10-7 F

B. 2,5 F

C. 4 F

D. 10-8 F

Hướng dẫn

Chọn A.

Năng lượng điện cực đại:

Năng lượng từ cực đại: = 2. J.

Năng lượng điện từ được bảo toàn, ta có: =